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204. – Je dis que la circonférence décrite sur $\mathrm {DD'}$ comme diamètre jouit de cette propriété remarquable que le rapport des distances de l’un quelconque de ses points aux points $\mathrm {B}$ et $\mathrm {C} ,$ est égal aux rapports ${\rm {{\frac {DB}{DC}},{\frac {D'B}{D'C}}\,:}}$ d’où résulte que co rapport est le même nombre pour tous les points de la circonférence.

En effet (fig. 119) le triangle $\mathrm {ADD} '$ est rectangle puisque les deux bissectrices de l’angle $\mathrm {BAC}$ sout rectangulaires p. 66, note 2). Donc (187) le point $\mathrm {A}$ est sur la circonférence de diamètre $\mathrm {DD'} .$ Réciproquement si nous joignons un point $\mathrm {M}$ — pris au hasard sur la circonférence — aux points $\mathrm {D}$ et $\mathrm {D} ',$ nous démontrons que les droites $\mathrm {MD,MD'}$ sont respectivement bissectrice et bissectrice extérieure da triangle $\mathrm {MBC} .$

faisceau harmonique ; division harmonique sur toute sécante

Fig. 119.                                            Fig. 120.

Il résulte également, du théorème du n^o 202, que si l’on considère deux droites indéfiniment prolongées $x'\mathrm {A} x,\,y'\mathrm {A} y,$ et les deux bissectrices $z'\mathrm {A} z,\,u'\mathrm {A} u$ des angles qu’elles forment, une droite quelconque $(\Delta )$ les rencontre en quatre points qui forment une division harmonique. – On dit que les quatre droites $x'\mathrm {A} x,y'\mathrm {A} y,z'\mathrm {A} z,u'\mathrm {A} u$ forment un faisceau harmonique^[1]. Dans ce faisceau les deux droites $z'\mathrm {A} z,u'\mathrm {A} u$ sont rectangulaires (forment un angle droit). On démontre^[2] plus généralement que si quatre droites (non rectangulaires), concourant en un point $\mathrm {A} ,$ forment une division harmonique sur une droite $\mathrm {(BD)}$ les coupant, elles forment des divisions harmoniques sur toutes les autres droites qui les coupent (exemple : la droite $\mathrm {B_{1}D_{1}C_{1}D'_{1}}$ sur la figure 120). En ce

tonique est donnée par une corde de longueur $\mathrm {BD'}$ et la quinte par une corde de longueur $\mathrm {BD} ,$ la tierce sera donnée par une corde de longueur $\mathrm {BC} .$

1. Ordonnance de droites, dit Desargues.
2. La démonstration résulte immédiatement du théorème de Pappus appliqué à un rapport anharmonique égal à $1$ voir fin du n^o 210.