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200. – Considérons maintenant le premier et le troisième rapport marqués (1). En égalant le produit des moyens au produit des extrêmes, nous avons :

(3)

$\mathrm {AH.AC=AB.CH} .$

Opérant de même sur les rapports (2), nous obtenons :

${\rm {AH.AB=AC.BH,\quad {\text{d'où}}\quad {\frac {AH}{AC}}={\frac {BH}{AB}}.}}$

Multiplions membre à membre cette dernière égalité par l’égalité (3) ; il vient :

$\mathrm {AH^{2}=BH.CH} ,$

résultat que l’on peut énoncer ainsi : la hauteur relative à l’hypoténuse est moyenne proportionnelle (voir n^o 96) entre les deux segments qu’elle déterminé sur l’hypoténuse.

Ce même théorème peut être présenté sous une autre forme. Considérons un cercle quelconque, un diamètre $\mathrm {AB}$ de ce cercle et la perpendiculaire $\mathrm {MH}$ abaissée d’un point quelconque du cercle sur ce diamètre (fig. 117) : la longueur $\mathrm {MH}$ est moyenne proportionnelle entre les deux segments $\mathrm {HA}$ et $\mathrm {HB}$ qu’elle détermine sur le diamètre en effet, si l’on mène les droites $\mathrm {AM}$ et $\mathrm {BM} ,$ le triangle $\mathrm {AMB}$ est rectangle [puisque son angle $\mathrm {M}$ a pour mesure une demi-circonférence (cf. n^o 187)] et $\mathrm {MH}$ en est la hauteur.

201. Calcul des côtés d’un polygone régulier inscrit dans un cercle. – (C’est en s’appuyant sur le théorème de Pythagore et les théorèmes connexes que les géomètres grecs ont déterminé la longueur des côtés des polygones réguliers inscrits dans un cercle (cf, n^os 65, 190) ou du moins de certains d’entre eux.

Soit donné un cercle dont le rayon a pour longueur $\mathrm {R} .$ On démontre que tout triangle équilatéral inscrit dans ce cercle a des côtés mesurant $\mathrm {R} .{\sqrt {3}}\,;$ que tout carré inscrit dans ce cercle a des côtés mesurant $\mathrm {R} .{\sqrt {2}}\,;$ que tout hexagone (polygone à $6$ côtés) régulier inscrit a des côtés égaux au rayon $\mathrm {R} ,$ etc,