Abaissons du sommet de l’angle droit la hauteur relative à l’hypoténuse (fig. 115) et appelons son pied. Le triangle
est semblable au grand triangle ; car il a même angle un angle droit égal à l’angle un angle qui est égal à l’angle [puisqu’il est complémentaire (54) du même angle ]. Dans les deux triangles semblables, les côtés homologues sont ceux qui sont opposés aux angles égaux, et l’on a, par conséquent, en écrivant que ces côtés sont proportionnels :
(1)
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Les deux triangles et sont, pareillement semblables et nous donnent :
(2)
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Nous allons tirer de ces proportions plusieurs conséquences remarquables.
Égalant, dans les deux derniers rapports marqués (1) le produit des moyens au produit des extrêmes (cf, no 99), nous obtenons :
Opérant de même sur les rapports (2), nous avons :
Additionnant il vient :
Le théorème de Pythagore est donc démontré[1].
- ↑ On peut démontrer que réciproquement si les trois côtés d’un triangle sont tels que le triangle est rectangle, l’angle étant droit.