Page:Boutroux - Les principes de l’analyse mathématique.djvu/214

les rapports, et pareillement les longueurs (une fois l’unité choisie), équivalent à des nombres irrationnels on rationnels ; on les obtient cependant, d’ordinaire, par des moyens (constructions) purement géométriques ; aussi nous sera-t-il commode de nous exprimer, dans nos énoncés et démonstrations comme si c’étaient les longueurs elles-mêmes, et, par conséquent, les segments rectilignes qui subissaient les opérations arithmétiques, indiquées par nos énoncés. Nous avons vu au n^o 95 que nous avions parfaitement le droit de procéder ainsi et d’effectuer des calculs sur les puissances des longueurs ou segments sans faire intervenir aucune considération d’aire et de volume. Lorsqu’il sera nécessaire de spécifier que nous considérons la mesure d’un segment $\mathrm {AB}$ et non le segment lui-même, nous désignerons cette mesure par le symbole $\mathrm {AB} ,$ ses puissances par les symboles $\mathrm {AB^{2},AB^{3}} ,\ldots \,:$ en cas contraire, nous emploierons simplement les notations $\mathrm {AB,AB^{2},AB^{3}} ,$ etc.

195. Similitude des triangles. – Nous avons dit au n^o 89 en quoi consiste la similitude. La définition des triangles semblables en particulier si nous la réduisons au minimum indispensable et en éliminons tout ce qui peut être déduit des théorèmes déjà connus (cf. 172) – la définition des triangles semblables peut être présentée comme il suit : Deux triangles $\mathrm {ABC}$ et $\mathrm {A'B'C'}$ sont semblables lorsque leurs côtés sont proportionnels, c’est-à-dire lorsque les rapports $\mathrm {{\frac {A'B'}{AB}},{\frac {A'C'}{AC}},{\frac {B'C'}{BC}}}$ sont des rapports égaux (je désigne par $\mathrm {A'B'\ldots BC}$ les longueurs des côtés des deux triangles). Les côtés, les angles ou les sommets des deux triangles qui se correspondent deux à deux sont dits homologues (cf. p. 103, note 21. Deux côtés homologues sont opposés à des angles homologues,

196. – Nous avons rappelé au n^o 80 le théorème « dit théorème de Thalés ». On déduit de ce théorème que deux triangles semblables peuvent toujours être disposés (comme les triangles $\mathrm {ABC}$ et $\mathrm {ADE}$ sur la figure 112) de façon, que deux de leurs côtés coïncident, les troisièmes côtés étant parallèles. Il en résulte en particulier que deux triangles semblables ant leurs angles homologues égaux chacun à chacun.

En effet les triangles, étant supposés placés comme $\mathrm {ABC}$ et $\mathrm {ADE}$