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182. – À l’étude des figures planes limitées par des segments de droites (ou polygones) correspond l’étude des figures solides limitées par des faces planes (ou polyèdres, cf. 78). Nous avons déjà défini au § 2 les plus simples de ces corps. Nous en signalerons tout à l’heure quelques autres ; mais nous allons, auparavant, fixer un instant notre attention sur une figure connexe dont les propriétés rappellent, à un certain point de vue tout au moins, celles des polygones : je veux parler de l’angle polyèdre.

183. – On appelle angle polyèdre la figure formée par plusieurs demi-droites (trois au moins) issues d’un même point $\mathrm {S}$ et telle que trois quelconques d’entre elles ne soient jamais situées dans un mème plan.

Pour achever de caractériser un angle polyèdre, on établit entre les demi-droites qui le définissent un ordre de succession. Nous numéroterons, par exemple, ces demi-droites à partir de $1$ et les désignons par $\mathrm {SA_{1},SA_{2}} ,\ldots ,$ $\mathrm {SA} _{n}.$ Cela fait, nous appellerons face du polyèdre chacun des angles (angles ordinaires ou angles plans}

$\mathrm {A_{1}SA_{2},\quad A_{2}SA_{1},\quad A_{1}SA_{4}} ,\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{n-1}\mathrm {SA} _{n},\quad \mathrm {A} _{n}\mathrm {SA} _{1}.$

Les angles dièdres formés par les plans de ces faces sont les dièdres de l’angle polyèdre. Les demi-droites elles-mêmes seront appelées arêtes, le point $\mathrm {S}$ sommet de l’angle polyèdre. – Un angle polyèdre a autant de faces et de dièdres que d’arêtes^[1].

En particulier un angle trièdre ou trièdre est la figure formée par trois demi-droites $\mathrm {SA,SB,SC} ,$ (fig. 100) non situées dans un même plan. La figure a $3$ faces et $3$ dièdres (ce sont les éléments du trièdre).

184. – La considération des trièdres fournit l’exemple le plus simple d’une particularité caractéristique^[2] des figures de l’espace qui ne se rencontrait pas en géométrie plane : c’est que deux

1. L’angle polyèdre sera dit régulier s’il a toutes ses faces égales et tous ses dièdres égaux comparer la définition des polygones réguliers.
2. Nous y reviendrons avec plus de détail au Deuxième Liv., chap. iv, lorsque nous étudierons la théorie des « déplacements » des figures ou corps solides.