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Voilà — ou à peu près — tout ce que nous aurions à dire des triangles égaux si nous n’avions d’autre but que de décrire les propriétés des figures. Mais nous ne devons pas oublier (cf. 166 et 231) que les théorèmes de la géométrie ne sont pas seulement tenus d’apporter des résultats intéressants, mais doivent aussi servir d’instruments de démonstration pour la découverte de nouvelles propositions. C’est à ce titre que s’imposait la détermination des « cas d’égalité des triangles », qui est sans doute l’une des questions les plus anciennement résolues par les géomètres [Eudème fait remonter la découverte de l’un d’eux jusqu’à Thalès.]

Il s’agissait de déterminer des conditions suffisantes entraînant l’égalité de deux triangles. En d’autres termes, — désignant les angles des deux triangles (fig. 87) par les noms de leurs sommets respectifs et les côtés opposés par les petites lettres correspondantes $a,b,c,a',b',c',$ — écrivons les six égalités^[1]

$\mathrm {A=A',\quad B=B',\quad C=C'} ,\quad a=a',\quad b=b',\quad c=c'$

qui expriment que les triangles sont superposables. Si ces sic conditions d’égalité sont satisfaites, les triangles sont sûrement égaux, Mais est-il nécessaire de savoir déjà qu’elles sont toutes six satisfaites pour affirmer l’égalité des deux triangles ? Ne peut-il arriver que, si cinq, on quatre, ou trois des six conditions sont remplies, les dernières le soient nécessairement ipso facto ? S’il en était ainsi, nous dirions que les cing, ou quatre, ou trois premières conditions sont des « conditions suffisantes » assurant l’égalité des deux triangles.

De telles conditions suffisantes sont données par les trois cas d’égalité des triangles que des démonstrations très simples permettent de déterminer.

1^er cas. – Deux triangles sont égaux lorsqu’ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux chacun à chacun, ce qui veut dire : il suffit que les deux triangles aient un angle égal (soit $\mathrm {A=A'}$) et les deux côtés correspondants égaux (soit $b=b',$ $c=c'$ sur la figure 87) pour que les deux triangles soient égaux.

2^me cas. - Deux triangles sont égaux lorsqu’ils ont un côté égal

1. Il s’agit ici toujours d’égalités géométriques que nous exprimons symboliquement en empruntant le signe $=$ aux arithméticiens.