C’est également des propositions qui précèdent que l’on tire les importants théorèmes suivants :
Deux angles dont les sommets et sont des points quelconques, mais dont les côtés sont parallèles chacun à chacun et dirigés dans le même sens sont égaux[1].
Deux angles qui ont leurs côtés perpendiculaires chacun à chacun sont égaux ou supplémentaires.
170. Triangles. Côtés. Somme des angles. – Un triangle a 6 « éléments », savoir ses trois côtés et ses trois angles.
Entre les trois côtés d’une part, les trois angles de l’autre, il y a des relations remarquables :
Dans un triangle quelconque un côté est plus petit que la somme des deux autres. Sur la fig. 85, par exemple, on a :
Cette proposition ne fait en somme qu’exprimer qu’entre les deux points et la ligne droite est le plus court chemin.
D’autre part, la somme des angles d’un triangle quelconque a toujours pour somme deux angles droits[2] [voir au no 54 la définition de la somme de plusieurs angles].
En effet, menons (fig. 86) par le point la droite parallèle à et appelons le prolongement de l’angle du triangle est égal à l’angle (alterne-interne, no 168); l’angle \mathrm B du triangle est égal à l’angle (correspondant). Donc la somme des trois angles du triangle est égale à la somme des