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sième droite $\mathrm {Z'Z}$ qui les rencontre respectivement aux points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ (fig. 82). La droite $\mathrm {Z'Z}$ (appelée transversale) forme avec chacune des droites $\mathrm {X'X}$ et $\mathrm {Y'Y}$ quatre angles que je numérote : $1,2,3,4.$ D’où, en tout, huit angles (je les désigne respectivement par les lettres affectées d’indices $\mathrm {A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},}$ $\mathrm {B_{1},B_{2},B_{3},B_{4}}$) entre les grandeurs desquels il y a des relations remarquables^[1].

Les angles $\mathrm {A_{1},A_{4}}$ (égaux comme opposés par le sommet, n^o 54) sont égaux (superposables) aux angles $\mathrm {B_{1},B_{4}}$ (opposés par le sommet). Les angles $\mathrm {A_{2},A_{4}}$ sont égaux aux angles $\mathrm {B_{2},B_{4}} .$ – D’ailleurs les angles $\mathrm {A_{1}}$ et $\mathrm {A_{3}} ,$ $\mathrm {B_{1}}$ et $\mathrm {B_{3}} ,$ etc. sont deux à deux supplémentaires (n^o 54). Il en résulte que les angles $\mathrm {A_{3}} ,$ et $\mathrm {B_{1}}$ sont supplémentaires, de même les angles $\mathrm {A_{1}} ,$ et $\mathrm {B_{3}}$ etc.

Lorsque l’on veut spécialement désigner deux des huit angles $\mathrm {A} _{1},\ldots \mathrm {B} _{4},$ l’un de sommet $\mathrm {A}$ et l’autre de sommet $\mathrm {B,}$ on emploie une terminologie spéciale on appelle alternes-internes^[2] les angles (égaux) $\mathrm {A_{3},B_{2}} ,$ ou $\mathrm {A_{4},B_{1}} ,$ alternes-externes les angles $\mathrm {A_{1},B_{4}} ,$ ou $\mathrm {A_{2},B_{3}} ,$ correspondants les angles $\mathrm {A_{1},B_{1}} ,$ ou $\mathrm {A_{2},B_{2}} ,$ ou $\mathrm {A_{3},B_{3}} ,$ ou $\mathrm {A_{4},B_{4}} ,$ intérieurs les angles $\mathrm {A_{3},B_{1}} ,$ ou $\mathrm {A_{4},B_{2}} ,$ etc.

Ces définitions sont naturellement valables lors même que les droites $\mathrm {X'X}$ et $\mathrm {Y'Y}$ ne sont pas parallèles. Mais on démontre que si, parmi les huit angles que forme avec ces droites la transversale $\mathrm {Z'Z}$ il y a un couple d’angles alternes-internes, alternes-externes ou correspondants égaux, les deux droites $\mathrm {X'X}$ et $\mathrm {Y'Y}$ sont nécessairement parallèles.

169. – Il résulte des propositions ci-dessus énoncées que lorsqu’un des huit angles est droit, tous les autres sont droits : ainsi, lorsque la droite $\mathrm {Z'Z}$ est perpendiculaire sur l’une des parallèles elle est perpendiculaire sur l’autre. Réciproquement, si $\mathrm {Z'Z}$ est perpendiculaire sur chacune des droites $\mathrm {X'X,Y'Y} ,$ ces deux droites sont parallèles,

1. Cf. Euclide, I, 27-30.
2. Alterni anguli, d’après les traducteurs d’Euclide.