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trer, c’est à dire à déduire les uns des autres. Ainsi dans un traité bien composé (cf. § 4) les théorèmes se succèdent, chainon par chainon, suivant une série logiquement ordonnée. L’ordre de cette série a-t-il, cependant, une valeur absolue ? Objectivement parlant, les propriétés dont jouissent les êtres mathématiques sont des faits qui s’impliquent mutuellement, mais dont aucun n’est antérieur à l’autre. Peut être est-il commode de déduire la proposition $\mathrm {B}$ de la proposition $\mathrm {A} \,;$ mais il serait souvent tout aussi légitime de tirer la proposition $\mathrm {A}$ de la proposition $\mathrm {B.}$ C’est à cause des besoins de la démonstration que des faits, simultanés pour la raison, sont traduits dans nos livres par des théorèmes successifs.

Voulant simplement rappeler, dans ce chapitre, quelques-unes des propriétés dont jouissent les figures les plus simples, nous ne nous astreindrons pas à rétablir la chaîne des démonstrations que l’on trouvera dans tous les traités de géométrie. Nous nous bornerons à signaler le contenu objectif des théorèmes fondamentaux. Il sera temps ensuite de porter notre attention sur la forme logique du système que ces théorèmes constituent (voir § 4 et Deux. liv., V).

2. – Géométrie qualitative des figures simples

167. – Lorsque nous contemplons le monde idéal des êtres géométriques, nous sommes frappés tout d’abord par le spectacle harmonieux que nous offrent les figures considérées dans leur forme et abstraction faite de leur grandeur. Vous of servons en effet qu’une figure qui est remarquable, soit par sa simplicité, soit par la symétrie qu’elle présente, soit par quelque autre circonstance, est toujours associée à d’autres figures remarquables. Il n’y a pas, autrement dit, de propriété qui ne traine à sa suite d’autres propriétés. D’où une multitude de théorèmes, dont l’ensemble constitue la géométrie qualitative^[1].

Nous allons rappeler brièvement quelques-uns de ces théorèmes.

1. Nous entendons par là une géométrie où il n’est question que de la forme des figures et non des relations quantitatives entre grandeurs. Nous ferons toutefois rentrer dans cette géométrie la théorie des figures égales en ayant égard à ce fait que la notion d’égalité géométrique se confond avec la notion de superposition (cf. 53 et 35). – Il importe d’ailleurs de remarquer que la distinction de la géométrie qualitative et