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arcs ou abscisses curvilignes $a$ et $b,$ les valeurs des cosinus et sinus de la somme de ces arcs — que nous désignerons par les symboles $\cos(a+b),\sin(a+b)$ — seront donnés par les égalités

${\begin{aligned}\cos(a+b)=&\cos a.\cos b-\sin a.\sin b\\\sin(a+b)=&\sin a.\cos b+\cos a.\sin b\end{aligned}}$

d’où l’on déduit

$\operatorname {tg} (a+b)={\frac {\operatorname {tg} a+\operatorname {tg} b}{1-\operatorname {tg} a.\operatorname {tg} b}}.$

Ainsi, si l’on connaît les lignes trigonométriques de deux arcs $a$ et $b$ on obtiendra par des opérations arithmétiques élémentaires les lignes trigonométriques.

Nous ferons connaître dans notre Deuxième Livre diverses applications de ces formules. Il nous suffit pour l’instant d’avoir signalé le prolongement que le calcul trigonométrique vient donner, à son tour, à la science des nombres. De plus en plus cette science déborde hors du vieux cadre pythagoricien pour s’engager, à la suite des géomètres, des astronomes et des calculateurs, dans des voies dont nous ne pouvons pas encore prévoir l’aboutissement.

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