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exactes, quel que soit le nombre relatif $a,$ pour toute valeur entière positive ou négative de $k\,:$

(4)

$\left\{{\begin{aligned}\sin a&=\sin(a+2.k.\pi )=\sin -a+(2.k+1).\pi \\\cos a&=\cos(a+2.k.\pi )=\cos -a+2.k.\pi \\\operatorname {tang} a&=\operatorname {tang} (a+k.\pi ).\end{aligned}}\right.$

160. Arcs de signes contraires, arcs supplémentaires.– Les égalités relatives au cosinus montrent que l’on a en particulier^[1] $\cos a=\cos(-a).$ On voit d’autre part, en se reportant à la figure 79, que, si l’arc $a$ est terminé en $\mathrm {M,}$ par exemple, l’arc $-a$ a pour extrémité le point $\mathrm {M_{2}} ,$ situé sur in perpendiculaire $\mathrm {MP}$ à $\mathrm {OA} \,;$ d’où résulte que l’on a^[2] : $\sin a=-\sin(-a).$ Il en est de même si l’extrémité de l’arc $a$ est en $\mathrm {M_{1}} ,$ en $\mathrm {M_{2}}$ on en $\mathrm {M_{3}} ,$ donc, quel que soit $a.$ Divisant le sinus par le cosinus, on déduit de là que : $\operatorname {tang} a=-\operatorname {tang} -a.$

Les égalités (4) relatives au sinus montrent que l’on a d’autre part :

$\sin a=\sin(\pi -a).$

D’ailleurs si l’arc $a$ a pour extrémité $\mathrm {M,}$ l’arc $\pi -a$ a pour extrémité $\mathrm {M_{1}} ,$ d’où nous concluons (voir fig. 79, que :

$\cos(\pi -a)=-\cos a\,;$

il en est de même quelle que soit l’extrémité de l’arc $a,$ donc quelle que soit la valeur de $a.$ – Divisant le sinus par le cosinus, nous voyons que : $\operatorname {tang} (\pi -a)=-\operatorname {tang} a.$

Ainsi nous avons les égalités suivantes, valables quel que soit le nombre relatif $a$ :

(5)

$\left\{{\begin{alignedat}{2}\sin a=&-\ \ \sin(-a)\,;&\sin a=&\quad \ \ \sin(\pi -a)\\\cos a=&\quad \ \ \cos(-a)\,;&\cos a=&-\ \ \cos(\pi -a)\\\operatorname {tang} a=&-\operatorname {tang} (-a)\,;\qquad &\operatorname {tang} a=&-\operatorname {tang} (\pi -a).\end{alignedat}}\right.$

Deux arcs [tels que $\mathrm {AM}$ et $\mathrm {MA} '$ sur la fig. 80], dont la somme est égale à $\pi$ sont dits supplémentaires ; leurs lignes trigonométriques.

1. On le voit en donnant à $k$ la valeur $0$ dans les formules $4$.
2. Les sinus sont de signes contraires et l’on démontre que :
   ${\rm {longueur\ MP=longueur\ PM_{3}.}}$