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Nous conviendrons de représenter, dans l’écriture courante, le sinus de $\mathrm {AM}$ par le symbole « $\sin \mathrm {AM}$ le cosinus par « $\cos \mathrm {AM}$ » la tangente par « $\operatorname {tang} \mathrm {AM}$ » ou « $\operatorname {tg} \mathrm {AM}$ ». Si $a$ désigne une abscisse curviligne de l’arc $\mathrm {AM} ,$ nous écrirons :

$\sin a.\qquad \cos a.\qquad \operatorname {tang} a\quad {\text{ou}}\quad \operatorname {tg} a.$

153. Relations entre le sinus. Je cosinus et la tangente. – Il y a entre le sinus, le cosinus et la tangente de l’arc $\mathrm {AM}$ des relations remarquables. En effet, le théorème de Pythagore (199) appliqué au triangle rectangle $OMP$ fig. 75) donne :

${\rm {{\overline {OM}}^{2}={\overline {OP}}^{2}+{\overline {PM}}^{2}\,;}}$

mais $\mathrm {OM} ,$ rayon du cercle, est l’unité ; $\mathrm {OP}$ est le sinus de $\mathrm {AM} \,;$ $PM,$ égal à $\mathrm {OQ} ,$ en est le cosinus ; nous avons donc (en désignant par $a$ une abscisse curviligne de l’arc $\mathrm {AM}$):

(1)

$\sin ^{2}a+\cos ^{2}a=1.$

Les deux triangles rectangles $\mathrm {OPM,OAT}$ sont semblabes (cf. 195): donc nous avons :

$\mathrm {{\frac {OP}{OA}}={\frac {PM}{AT}}} \quad {\text{ou}}\quad {\frac {\cos a}{1}}={\frac {\sin a}{\operatorname {tang} a}}.$

d’où

(2)

$\operatorname {tang} a={\frac {\sin a}{\cos a}}.$

Les relations (1) et (3) se trouvent ainsi démontrées dans le cas où l’extrémité $\mathrm {M}$ de l’arc $\mathrm {AB}$ est située entre les points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B.}$ On démontrera facilement que ces relations sont encore vraies si l’extrémité de l’arc est située entre $\mathrm {B}$ et $\mathrm {A'}$ (comme $\mathrm {M_{1}}$ sur la fig. 76, ou entre $\mathrm {A'}$ et $\mathrm {B',}$ ou entre $\mathrm {B'}$ et $\mathrm {A} .$

154. Remarque. – On déduit aisément de la définition du sinus et du cosinus que le sinus ou le cosinus d’un are quelconque est un nombre compris entre $-1$ et $+1,$ car ce nombre mesure un segment moins long que le rayon du cercle trigonométrique (p. 165, note 2); il n’existe pas d’arc dont le sinus ou le cosinus soit supérieur à $1$ ou inférieur à $-1.$