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mesures de grandeurs. Le même traité passe souvent, sans prévenir Je lecteur, d’un point de vue à l’autre. Aussi les mots longueur, mesure où valeur de longueur, nombre, quantité seront, à moins d’indication contraire, regardés comme équivalents.

En revanche, les égalités ou relations^[1] auxquelles conduisent les calculs relatifs aux grandeurs présentent toutes un certain caractère qui est une conséquence directe de leur signification géométrique ; ces égalités sont homogènes.

Voici ce qu’il faut entendre par là.

La géométrie ne compare entre elles que des grandeurs de même espèce. Ainsi, si le premier membre d’une égalité est une longueur (ou une aire, ou un volume), le second membre doit être pareillement une longueur ou une aire, ou un volume); si le premier membre est une somme de termes ou plus généralement une combinaison de sommes et différences telle que $\mathrm {A-B} ,\,\mathrm {C+D-E}$ tous les termes doivent être des grandeurs de même espèce.

Désignons, par exemple, par $\mathrm {A,B,C,D} ,\ldots$ des longueurs ; nous dirons^[2] que ce sont des grandeurs de dimension $1.$ Tout produit ou carré de ces longueurs^[3], $\mathrm {A.B,\,A.C} ,\ldots$ ou $\mathrm {A} ^{2},\mathrm {B} ^{2},\ldots$ sera, (ou pourra être interprété comme) une aire (grandeur de dimension $2$). Tout produit d’une grandeur de dimension $2$ par une longueur $\left({\text{exemple : }}\mathrm {A.B.C,\,A^{2}.B,\,A.B^{2},\,A^{3}} ,\ldots \right)$ sera (ou pourra être interprété comme un volume (grandeur de dimension $3$). Considérons, d’autre part, une grandeur telle $\mathrm {{\frac {A}{B}}.C}$ ou que $\mathrm {\frac {A.C}{B}}$ (quatrième proportionnelle à $\mathrm {A,B,C}$) ; cette grandeur est une longueur. Il en est de même des grandeurs telles que

${\rm {{\frac {A^{2}}{B^{2}}}.C\qquad {\frac {A.B}{D^{2}}}.C,\qquad {\frac {A^{4}}{B^{4}}}.C,\quad ,{\text{ etc}}.}}$

produits d’une longueur $\mathrm {C}$ par un rapport de grandeurs de même

1. Par relation, nous entendons une égalité dont chaque membre est le résultat d’une combinaison d’opérations effectuées sur des grandeurs.
2. Ceci nous conduit à regarder les rapports de longueurs (et pareillement les rapports de grandeurs quelconque de même espèce) — et, d’une manière générale, les nombres — comme des grandeurs de dimension $0.$
3. J’emploie ici le signe $.$ dans le sens multiplié par comme eu arithmétique voir n^o 7.