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portion. Elle est, en effet, le fondement d’un mode de raisonnement fort ancien, qui est, aujourd’hui encore, familier à nos écoliers : la règle de trois — en latin regula de tribus numeris, on, par abréviation regula detri — règle dorée, dit un traité allemand du xv^e siècle. Supposons que, dans la proportion ${\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},$ les trois nombres $a,b,c,$ soient comuns tandis que $d$ est un nombre inconnu l’on veut calculer ; nous dirons : ce que $a$ est à $b,$ $1$ l’est à ${\frac {b}{a}}$ et $d$ l’est à ${\frac {b\times c}{a}}\,;$ donc $d={\frac {b\times c}{a}}.$

Cette règle fut connue des calculateurs orientaux et des logisticiens grecs depuis une haute antiquité. Nous en trouvons de nombreuses applications dans les traités d’arithmétique indiens. « Si l’on reçoit, — dit Bhaskara^[1]. — $104$ nishcas pour $63$ pallas du meilleur camphre, calcule et dis-moi, ami, combien on en recevra pour $12{\frac {1}{4}}$ palhas. – Si une esclave de $16$ ans est cédéc pour $32$ nishcas, que coûtera une esclave de $20$ ans ? Réponse : $25{\frac {3}{5}}$ nishcas » (la valeur de l’esclave diminue proportionnellement à l’âge).

Tous ces problèmes sont ramenés par leurs auteurs à des proportions.

101. Relations entre grandeurs. Homogénéité. – Nous devons faire encore, avant de clore ce paragraphe, quelques remarques accessoires.

Nous avons vu que nous étions toujours en droit d’assimiler les proportions géométriques aux proportions arithmétiques. Plus généralement, il résulte de l’analyse qui précède et en particulier des remarques faites au n^o 95 que nous avons le droit de calculer sur les longueurs, et pareillement sur les autres grandeurs géométriques, exactement comme sur des nombres.

C’est ce qui permet aux traités de géométrie d’énoncer à volonté les propriétés des figures sous forme de relations entre grandeurs (voir la note 1, p. 117, ou d’égalités numériques entre

1. Lilavati apud Colebrooke, Algebra with arithmetic and mensuration from the sanscrit of Brahmagupta and Bhascara, 1817, p. 31, 34.