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longueurs^[1]. Le quotient des deux longueurs $\mathrm {AB,CD} ,$ par exemple, est le quotient des deux rapports ${\rm {{\frac {AB}{UN}},{\frac {CD}{UN}},}}$ c’est-à-dire le rapport $\mathrm {\frac {AB}{CD}} ,$ représenté lui-même par une longueur. Le produit de $\mathrm {AB}$ par $\mathrm {CD}$ est également une longueur (voir la construction de Descartes, note 1). Dans les paragraphes précédents, au contraire, nous n’avions su définir le produit de deux longueurs qu’en tant qu’il représente la surface d’un rectangle.

96. Proportions. – Pratiquement, le calcul des rapports sert surtout à l’étude et à la transformation des couples de rapports égaux que l’on a coutume d’appeler « proportions ».

Soient données quatre longueurs que je désignerai par les lettres majuscules \mathrm{A,B,C,D}. Si le rapport \mathrm\frac{A}{B} est égal au rapport \mathrm\frac{C}{D}, on dit que le couple des rapports \mathrm\frac{A}{B} et \mathrm\frac{C}{D} constitue une proportion^[2].

↑ Longueurs déduites, au moyen d’une construction géométrique (vide, chap. iii. § 5), des longueurs sur lesquelles on opère. L’idée de représenter par une longueur le résultat de toute opération effectuée sur des longueurs, — idée d’une portée considérable — s’est précisée dans l’esprit de Descartes entre l’époque où il écrivit les Regulæ ad directionem ingenii (vers 1629) et l’année où il composa sa Géométrie (1636-37), Dans les Regulae qui sont, il est vrai, inachevées), Descartes représenté encore un produit par une surface. Dans la Géométrie, au contraire, il s’exprime ainsi ((Œuv, de Descartes, éd. Ad.-Tan., VI, p. 370) :

« Soit, par exemple, $\mathrm {AB}$ l’unité, et qu’il faille multiplier $\mathrm {BD}$ par $\mathrm {BC} \,:$ je n’ai qu’à joindre les points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C,}$ puis tirer $\mathrm {DE}$ parallèle à $\mathrm {CA} ,$ et $\mathrm {BE}$ est le produit de cette multiplication. – Ou bien, s’il faut diviser $\mathrm {BE}$ par $\mathrm {BD} ,$ ayant joint les points $\mathrm {E}$ et $\mathrm {D,}$ je tire $\mathrm {AC}$ parallèle à $\mathrm {DE} ,$ et $\mathrm {BC}$ est le produit de cette division ».

« Et il est à remarquer, ajoute plus loin Descartes, que par $a^{3}$ ou $b^{3}$ ou semblables, je ne conçois ordinairement que des lignes toutes simples, encore que pour me servir des noms usités en algèbre, je les nomme des carrés ou des cubes, etc. . Voir aussi sur le calcul des longueurs, Deux, liv, ch. iii.
↑ Le mot latin proportio a souvent été pris, autrefois, dans le seus de rapport (ratio). Ce n’est qu’au xviii^e siècle que son sens fut délinitivement fixé [Jacques Bernouilli en donne la définition suivante : De rationibus et proportionibus (1688) : Si rationes æquales invicem compurantur, existit proportio »].

[1] Longueurs déduites, au moyen d’une construction géométrique (vide, chap. iii. § 5), des longueurs sur lesquelles on opère. L’idée de représenter par une longueur le résultat de toute opération effectuée sur des longueurs, — idée d’une portée considérable — s’est précisée dans l’esprit de Descartes entre l’époque où il écrivit les Regulæ ad directionem ingenii (vers 1629) et l’année où il composa sa Géométrie (1636-37), Dans les Regulae qui sont, il est vrai, inachevées), Descartes représenté encore un produit par une surface. Dans la Géométrie, au contraire, il s’exprime ainsi ((Œuv, de Descartes, éd. Ad.-Tan., VI, p. 370) :

« Soit, par exemple, $\mathrm {AB}$ l’unité, et qu’il faille multiplier $\mathrm {BD}$ par $\mathrm {BC} \,:$ je n’ai qu’à joindre les points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C,}$ puis tirer $\mathrm {DE}$ parallèle à $\mathrm {CA} ,$ et $\mathrm {BE}$ est le produit de cette multiplication. – Ou bien, s’il faut diviser $\mathrm {BE}$ par $\mathrm {BD} ,$ ayant joint les points $\mathrm {E}$ et $\mathrm {D,}$ je tire $\mathrm {AC}$ parallèle à $\mathrm {DE} ,$ et $\mathrm {BC}$ est le produit de cette division ».

« Et il est à remarquer, ajoute plus loin Descartes, que par $a^{3}$ ou $b^{3}$ ou semblables, je ne conçois ordinairement que des lignes toutes simples, encore que pour me servir des noms usités en algèbre, je les nomme des carrés ou des cubes, etc. . Voir aussi sur le calcul des longueurs, Deux, liv, ch. iii.

[2] Le mot latin proportio a souvent été pris, autrefois, dans le seus de rapport (ratio). Ce n’est qu’au xviii^e siècle que son sens fut délinitivement fixé [Jacques Bernouilli en donne la définition suivante : De rationibus et proportionibus (1688) : Si rationes æquales invicem compurantur, existit proportio »].

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