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Ce fait, — ou, du moins, l’égalité des deux premiers rapports que nous venons d’écrire — est exprimé par la proposition suivante^[1] : Une parallèle $\mathrm {B'C'}$ à un côté $\mathrm {BC}$ d’un triangle $\mathrm {ABC}$ détermine sur les deux autres côtés des segments proportionnels aux longueurs de ces côtés, – c’est-à-dire des segments $\mathrm {AB,AC}$ tels que ${\rm {{\frac {AB'}{AB}}={\frac {AC'}{AC}}.}}$ De cette proposition on déduira immédiatement — en vertu des propriétés des proportions que nous formulerons au n^o 96 — que l’on a aussi les égalités :

{\rm {{\frac {AB}{AB'}}={\frac {AC}{AC'}},\qquad {\frac {AB'}{BB'}}={\frac {AC'}{CC'}},\qquad {\frac {BB'}{AB}}={\frac {CC'}{AC}}.}}

Les mêmes égalités sont encore vraies lorsque la parallèle à $\mathrm {BC}$ ne traverse pas le triangle et rencontre les côtés $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {AC}$ sur leurs prolongements (comme il arrive sur les figures 59).

D’ailleurs, une fois acquise l’égalité des deux rapports $\mathrm {\frac {AB'}{AB}}$ et $\mathrm {\frac {AC'}{AC}} ,$ on démontrera^[2] facilement. en s’appuyant sur les théorèmes de la géo-

curvilignes semblables : les points $\mathrm {A',B',C',D'}$ sont les images des points $\mathrm {A,B,C,D} \,;$ les segments $\mathrm {AB,CD}$ d’une part, et les segments « homologues » $\mathrm {A'B',C'D'} ,$ d’autre part, sont proportionnels (ce qui veut dire que leurs rapports sont égaux).

↑ Ce théorème est souvent appelé théorème de Thalès ; mais il ne semble pas que l’on soit autorisé à en attribuer la paternité au géomètre de Milet.
↑ Menons $\mathrm {C'D'}$ parallèle à $\mathrm {AB}$ (fig. 55). Notre théorème, appliqué aux côtés $\mathrm {CA}$ et $\mathrm {CB}$ du grand triangle donne l’égalité ${\rm {{\frac {CC'}{AC}}={\frac {CD'}{BC}},}}$ ou, si l’on veut (d’après les propriétés des proportions mentionnées au n^o 95) l’égalité équivalente ${\rm {{\frac {AC'}{AC}}={\frac {BD'}{BC}}.}}$ Mais la figure $\mathrm {BB'C'D'}$ est un parallélogramme, et par suite $\mathrm {BD'=B'C'} .$ Donc on a bien ${\rm {{\frac {AC'}{AC}}={\frac {B'C'}{BC}}.}}$ La démonstration est semblable lorsque la ligure est disposée comme sur les figures 59.

On démontrera aussi (voir chap. iii, § 3) que le rapport $\mathrm {\frac {AB'}{AB}}$ est égal au rapport de deux droites quelconques se correspondant dans les deux triangles (par exemple deux hauteurs, ou deux bissectrices).

[1] Ce théorème est souvent appelé théorème de Thalès ; mais il ne semble pas que l’on soit autorisé à en attribuer la paternité au géomètre de Milet.

[2] Menons $\mathrm {C'D'}$ parallèle à $\mathrm {AB}$ (fig. 55). Notre théorème, appliqué aux côtés $\mathrm {CA}$ et $\mathrm {CB}$ du grand triangle donne l’égalité ${\rm {{\frac {CC'}{AC}}={\frac {CD'}{BC}},}}$ ou, si l’on veut (d’après les propriétés des proportions mentionnées au n^o 95) l’égalité équivalente ${\rm {{\frac {AC'}{AC}}={\frac {BD'}{BC}}.}}$ Mais la figure $\mathrm {BB'C'D'}$ est un parallélogramme, et par suite $\mathrm {BD'=B'C'} .$ Donc on a bien ${\rm {{\frac {AC'}{AC}}={\frac {B'C'}{BC}}.}}$ La démonstration est semblable lorsque la ligure est disposée comme sur les figures 59.

On démontrera aussi (voir chap. iii, § 3) que le rapport $\mathrm {\frac {AB'}{AB}}$ est égal au rapport de deux droites quelconques se correspondant dans les deux triangles (par exemple deux hauteurs, ou deux bissectrices).

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