89. Rapports de longueurs. Similitude. – Le géomètre se fait du rapport de deux longueurs (ou, plus généralement, de deux grandeurs géométriques) une idée parfaitement nette quoique difficile à formuler en termes rigoureux[1]. Cette idée est liée à celle de la similitude. Imaginons par exemple que nous fassions une réduction ou un agrandissement d’une épreuve photographique : nous dirons que la nouvelle image est semblable à la première : elle a la même forme sans avoir la même grandeur. Traçons sur l’épreuve primitive deux segments de droites arbitraires et appelons [2] les « images » respectives de ces deux
- ↑ Le rapport grec est, dit Euclide, une certaine manière d’être (grec, quaedam habitudo) de deux grandeurs homogènes entre elles suivant la quantité Éléments, liv. V, déf. 3, Mais Euclide (ou Eudoxe, voir la note précédente), ne se contente pas de cette affirmation : il donne du rapport une définition indirecte et arithmétique qui ne diffère guère au fond de celle que fournit la théorie moderne des nombres irrationnels exposée ci-dessous au § 6.
Deux grandeurs, dit-il (déf. 4), sont dites avoir une raison (ration entre elles lorsque ces grandeurs étant multipliées peuvent se surpasser mutuellement : en d’autres termes (en désignant les grandeurs par et ), si l’on peut trouver deux nombres entiers et tels que et – Que deux grandeurs de mème espèce (par exemple deux longueurs ou deux aires) satisfassent à ces conditions (et aient par conséquent un rapport), c’est là un postulat qui équivaut à l’axiome connu sous le nom de postulat d’Archimède (vide, p. 74. note 1).
La définition des rapports égaux est donnée, en ces termes par Euclide : « Des grandeurs sont dites en même raison, la première à la seconde et la troisième à la quatrième, lorsque des équimultiples produits par un même nombre quelconques de la première et de la troisième et d’autres équimultiples quelconques de la seconde et de la quatrième sont tels que les premiers équimultiples surpassent, chacun à chacun, les seconds équimultiples, ou leur sont égaux à la fois, on sont plus petits à la fois. » (trad. Peyrard).
- ↑ Les segments sont dits homologues des segments et proportionnels à ces segments.
Éléments d’Euclide, où se trouve l’exposé de cette théorie. Les propositions du Ve livre simplifient considérablement l’étude des aires et volumes (voir le paragraphe précédent) et redonnent, par une voie nouvelle, les résultats auxquels on a tout d’abord été conduit par la considération directe de l’égalité géométrique. (Exemple : Le théorème de Pythagore, voir 199). M. Zeuthen suppose (Hist. des math, dans l’antiqu.) que les difficultés inhérentes à la théorie des proportions ne furent définitivement surmontées que peu de temps avant Euclide : c’est pourquoi celui-ci aurait tenu à laisser une place dans son système à la méthode ancienne à côté de la nouvelle.
