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qu’il a été requis au n^o 72. Mais, si l’on suppose connue la longueur d’une courbe, par exemple, la longueur du cercle de rayon $1,$ on peut déduire de cette longueur la grandeur de nombreuses surfaces ou volumes dans la figure desquels entre celle courbe.

Proposons-nous, tout d’abord, de déterminer l’aire du cercle.

Inscrivons dans le cercle de centre $\mathrm {O,}$ comme nous l’avons déjà fait, au n^o 65, un polygone régulier ayant un très grand nombre de très petits côtés égaux $\mathrm {AB,\,BC} ,\ldots$ et dont le contour est très voisin du contour du cercle, L’aire de ce polygone est la somme des aires des triangles $\mathrm {OAB,OBC} ,$ etc. Tous ces triangles sont d’ailleurs égaux (comme ayant leurs trois côtés égaux, (voir 173) et leurs hauteurs $\mathrm {OH,OH'} ,\ldots$ etc. sont par conséquent toutes égales (la longueur commune de ces hauteurs est appelée apothème). Si donc le polygone a $n$ côtés, son aire est égale à $n$ fois l’aire du triangle $\mathrm {OAB} ,$ c’est-à-dire à $n$ fois le demi-produit de la longueur $\mathrm {AB}$ par la longueur $\mathrm {OH} ,$ ou, si l’on veut, égale au demi-produit de la longueur $\mathrm {OH}$ par la longueur du périmètre du polygone (ce périmètre égale $n$ fois $\mathrm {AB}$). Cela dit, multiplions indéfiniment le nombre des côtés du polygone, de manière que son contour se rapproche indéfiniment du contour du cercle ; la longueur $\mathrm {OH}$ est de plus en plus voisine de la longueur du rayon du cercle, et le

périmètre et l’aire du polygone se rapprochent de plus en plus de la longueur et de l’aire du cercle. Nous concluons^[1] de là que l’aire^[2] du cercle est égale au demi-produit de la longueur de son rayon par la longueur de sa circonférence^[3].

La même démonstration établit que l’aire d’un secteur circulaire

1. Pour rendre la démonstration rigoureuse, il faut suivre la voie qui a été indiquée au § 2,
2. Archimède énonce ainsi ce théorème : grec. Tout cercle est égal à un triangle rectangle, son rayon étant égal à un des côtés de l’angle droit et son périmètre à la base du triangle rectangle.
3. Lorsque nous aurons défini les nombres irrationnels et transcendants nous pourrons dire que la mesure de l’aire du cercle dont le rayon a pour mesure le nombre $r$ est ${\frac {r}{2}}\times 2.\pi .r,$ donc $\pi \times r^{2}$ (voir n^o 68).