ment des théories mathématiques si l’on voulait voir dans les formules algébriques et dans les combinaisons logiques les objets mêmes dont le mathématicien poursuit l’étude. Au contraire tous les caractères de ces théories s’expliquent aisément si l’on admet que l’algèbre et les propositions logiques ne sont que le langage dans lequel on traduit un ensemble de notions et de faits objectifs.
Les algébristes et les logiciens ont raison de regarder la Mathématique comme un système algébrico-logique. C’est en effet sous cette forme que se présentent les théories déjà acquises, et c’est sous cette forme également qu’on s’efforce d’exprimer les faits nouveaux que l’on veut incorporer dans la science. Prenons et démontons une partie quelconque de l’édifice mathématique : nous n’y trouverons rien qu’un système de définitions et de postulats, énoncés dans la langue de la logique et de l’algèbre et associés suivant les règles de ces deux arts.
Mais si nous cherchons à discerner les raisons qui, dans le travail de recherche, ont déterminé le choix du mathématicien, — si, faisant, autant que possible, abstraction de la forme de l’exposition et de l’appareil de la démonstration, nous envisageons en eux-mêmes, comparons les uns aux autres, regardons sous toutes leurs faces, les résultats auxquels aboutissent les théories, les objets vers lesquels elles sont dirigées, — nous observons alors que les caractères les plus frappants de ces objets, les mérites que les mathématiciens semblent rechercher en eux, n’ont presque rien de commun avec les qualités formelles de la théorie algébrico-logique.
Quelles sont, en effet, les qualités auxquelles se reconnaît la beauté et la solidité d’une théorie ? Elles résident, d’une part, dans la simplicité et la précision — la compréhension bien déterminée — des définitions et des postulats, d’autre part dans l’enchaînement rigoureux
