Mathématique idéale se réduirait à une synthèse algébrico-logique, cette synthèse se faisant suivant les règles du jeu, lesquelles sont arbitraires. Or, à cette formule, pour diverses raisons indiquées plus haut, les mathématiciens de la fin du xixe siècle ne pouvaient plus souscrire.
Il est bien évident tout d’abord que le mathématicien ne saurait construire dans le vide. Il importe que ses théories soient applicables à la géométrie et à la physique. Or, les besoins de ces sciences obligent le savant à étudier des relations mathématiques qui ne se réduisent pas à des combinaisons algébriques. Il y a plus. À l’intérieur même de l’ « Analyse mathématique », nous ne pouvons réaliser des progrès et aller au fond des notions que nous étudions qu’en nous échappant plus ou moins du cadre de l’algèbre. Ajoutons que pour justifier et hiérarchiser les théories, pour discuter les hypothèses sur lesquelles elles sont fondées, pour les perfectionner et les enrichir, nous devons nécessairement faire entrer en jeu d’autres opérations de l’esprit que la pure et simple combinaison logique.
Nous nous y trouvons d’autant plus obligés que notre faculté de combinaison triomphe davantage. Sentant, en effet, la possibilité de construire des sciences fictives infiniment variées reposant sur des définitions et des postulats arbitraires, nous nous trouvons paralysés, par l’excès même de notre puissance. Nous comprenons qu’un choix est nécessaire entre les innombrables constructions que nous pouvons réaliser. Et ainsi des deux parties dont se compose ordinairement l’œuvre du mathématicien — sélection des idées et démonstration, — la première prend de nouveau une importance prépondérante par rapport à la seconde.
Telles sont les remarques auxquelles aboutit l’étude
