avons dit aussi dans quelles conditions, grâce à la création du calcul des séries de puissances, cette idée avait acquis, vers la fin du xviiie siècle, une extension que n’avaient pas prévue les premiers algébristes. Ainsi fut constituée, peu à peu, une théorie générale qui comprenait toutes les fonctions susceptibles d’être étudiées par les méthodes de l’algèbre[1]. Ces fonctions sont aisées à caractériser. Ce sont (pour nous borner au cas d’une seule variable) celles qui peuvent être définies comme sommes de séries de Taylor[2], ou séries de la forme
| (T) | a0 + a1(x − x0) + a2(x − x0)2 + … + an(x − x0)n + …, |
procédant suivant les puissances de la différence (x − x0), et dans lesquelles x est la variable (dont dépend la fonction) et x0 une valeur particulière fixe prise par cette variable.
Quelque considérable que fût l’extension ainsi donnée à la notion de fonction, cette extension pouvait-elle, cependant, satisfaire pleinement les mathématiciens ?
On le crut, tout d’abord ; mais vers la fin du xviiie siècle, il devint manifeste que la théorie des fonctions ne saurait indéfiniment rester enfermée dans le cadre que lui imposait la méthode des séries de puissances. Les problèmes posés par la physique devaient, en effet, nécessairement la faire déborder de ce cadre en obligeant les mathématiciens à étudier des fonctions discontinues
- ↑ (Le calcul des séries était, dans la pensée de ses auteurs, un prolongement de l’algèbre élémentaire). Cf. supra, chapitre II.
- ↑ Ces séries sont, au fond, celles mêmes dont faisaient usage Newton et Leibniz. La forme sous laquelle elles sont aujourd’hui employées a été indiquée par Brook Taylor dans la Methodus incrementorum directa et inversa, publiée à Londres en 1715.
