une science particulièrement heureux, que Hilbert, a fait œuvre, non seulement de logicien, mais de mathématicien.
Louis Couturat ne reconnaît pas la distinction que nous établissons ici. « Tout l’effort des logisticiens, dit-il[1], porte sur le choix des définitions et des postulats. Et s’il est vrai que la découverte mathématique consiste dans un choix de postulats, c’est aussi en cela que consiste la découverte logique. » L’œuvre des logisticiens, précise Couturat, « consiste dans un double travail de réduction : réduction des notions premières, par la définition ; réduction des propositions à des propositions premières, par la déduction logique formelle ».
Peut-être, en effet, est-il permis de dire dans certains cas que les découvertes logiques consistent dans un choix de postulats ; mais, alors, le mot choix n’a plus exactement le même sens que tout à l’heure. Le travail de réduction logique peut être brièvement esquissé comme il suit : On se donnera un système S de notions et de postulats, et, par déduction ou combinaison logique, on transformera ce système en un système équivalent S′, formé de notions et postulats moins nombreux ou plus simples, que l’on conviendra d’adopter comme définitions. Ici, le choix s’effectue entre un certain nombre de systèmes S′ équivalents à S et exactement déterminés ; et l’hésitation n’est pas possible, puisque, de deux systèmes S′, on voit immédiatement lequel est le plus simple ou comprend le moindre nombre de postulats. Le travail qu’accomplissent les logiciens lorsqu’ils effectuent la « réduction des postulats », c’est en somme, suivant la conception de l’école de Peano, la décom-
- ↑ Revue de Métaphysique, novembre 1904, art. cité p. 1047, note.
