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vitesses caractéristique du régime uniforme, altérée seulement dans une mesure comparable à ces changements eux-mêmes. Leur théorie, très facilitée par l’emploi immédiat, qu’elle comporte, de la méthode des approximations successives à partir des formules du régime uniforme, a été indiquée, il est vrai, dès 1871^[1] et publiée in extenso dans un Mémoire de l’année suivante 1872^[2] ; mais je lui ai trouvé depuis des simplifications et des compléments qui permettent d’en abréger beaucoup et d’en mieux synthétiser l’exposition.

§ II. — Équations fondamentales de l’écoulement graduellement varié.

» 2. J’ai déjà donné la définition et les équations fondamentales des régimes graduellement variés, dans mon étude de l’année dernière sur l’écoulement tourbillonnant et tumultueux^[3]. Les composantes transversales $v,$ $w$ de la vitesse moyenne locale $\mathrm {V} \ y$ sont assez petites, ainsi que les dérivées, par rapport à l’abscisse $x$ ou au temps $t,$ soit de la composante longitudinale $u,$ soit de la section normale fluide $\sigma ,$ soit de la vitesse moyenne de débit $U$ à travers cette section, pour que les produits de toutes ces quantités, entre elles ou par le petit coefficient $\varepsilon$ du frottement intérieur, soient négligeables dans les équations du mouvement. De plus, les dérivées successives en $x$ ou $t$ des mêmes petites quantités sont d’ordres de grandeur de moins en moins sensibles, en sorte que l’on doit n’en tenir compte qu’à des degrés d’approximation de plus en plus élevés ; et même la dérivée de $\varepsilon$ en $x,$ comparable au produit de $\varepsilon$ par certaines des petites dérivées précédentes, peut être supposée nulle.

» 3. Cela posé, les deux équations indéfinies du mouvement, où figurent les deux très petites accélérations latérales $v',$ $w',$ se trouveront

1. Comptes rendus, t. 73, p. 34 et 101 ; 3 et 10 juillet 1871.
2. Essai sur la théorie des eaux courantes, aux t. XXIII et XXIV du Recueil des savants étrangers ou des Mémoires présentés etc., §§ VI, IX, X, XI, XII, XXVI, XXXVI. Voir surtout le §XI, rédigé en 1873, et, au Tome XXIV, une Addition, p. 59.
3. Comptes rendus, 22 et 29 juin 1896 ; t. CXXII, p. 1449 et 1517, ou n^o 20, p. 17, du précédent Mémoire consacré surtout au régime uniforme et intitulé : Théorie de l’écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes à grande section.