La figure 21 montre le sens de cette proposition.
L’image P′ que le miroir Α donne du point P, est devant le miroir B. Elle donne une image par réflexion sur ce miroir ; certains rayons issus de P tombent sur le miroir B après s’être réfléchis sur Α′.
L’image Q′ que le miroir Α donne du point Q, est derrière le miroir B. Elle ne donne pas d’image par réflexion sur ce miroir ; aucun rayon issu de Q ne tombe sur B après s’être réfléchi sur Α.
2o. — Le calcul du nombre possible des images est maintenant simple.
Chaque série précédemment considérée se termine à l’image dont la distance au miroir pour lequel elle doit servir d’objet, est supérieure à 180°. Ces distances étant de la forme , , les conditions à satisfaire sont :
Autrement dit, dans chaque série le nombre d’images est égal au plus petit nombre k pour lequel on a :
Ainsi dans la figure 21, l’angle θ vaut 153°. Pour qu’il y ait deux images, il faut que l’angle α soit inférieur à 27°.
Pour le point P, il y a deux images.
Pour le point Q, il n’y a qu’une image.
Pour les deux points et la série qui commence par une réflexion sur le miroir B, il n’y a qu’une image ; en effet, β vaut 135° et 106° suivant qu’on prend le point P ou le point Q.
3o. — Cas où θ est partie aliquote de la circonférence.
a) Soit : .
k est égal à n. Chaque série se compose de n images.
Mais les dernières images de chaque série sont confondues. Elles sont en effet à des distances 180 + α, 180 +β (comptées en sens inverses) de deux points dont la distance est α + β.
En convenant de compter l’objet pour une image, on trouve au total :
b) Soit : ,
Une des séries contient n images ; l’autre en contient n + 1 ; au total N + 1 images, y compris l’objet.
Les dernières images des deux séries sont confondues quand le point lumineux est sur la bissectrice des miroirs ; en tout N images, y compris l’objet.
4o. — Cas où n’est pas partie aliquote de la circonférence.
Je crois inutile d’aller plus loin dans cette analyse, dont voici le résultat.