Montrons directement l’existence de ce point nodal en utilisant la partie inférieure de la figure 141.
Pour abréger les calculs, supposons entre les milieux 2 et 3 une mince couche du milieu 1.
Un rayon issu de C tombe sur la surface de rayon R′ sous l’angle :
.
.
L’angle i étant petit, la déviation est :
![{\displaystyle \delta \,=\,i\,-\,r\,=\,i\,\left(1\,-\,{\frac {n_{3}}{n_{1}}}\right)\,=\,h\,\left({\frac {1}{\mathrm {R} '}}\,+\,{\frac {1}{\gamma }}\right)\,\left(1\,-\,{\frac {n_{3}}{n_{1}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/404230a02f61bc673ec46ce0fec098d215987de0)
.
Le rayon rencontre alors un fragment de lentille qui est équivalent à un prisme d’angle (§ 58) :
,
et qui donne la déviation (§ 49) :
.
Écrivons que les déviations se compensent :
![{\displaystyle \left({\frac {1}{\mathrm {R} }}\,+\,{\frac {1}{\mathrm {R} '}}\right)\,\left(1\,-\,{\frac {n_{2}}{n_{1}}}\right)\,=\,\left({\frac {1}{\mathrm {R} '}}\,+\,{\frac {1}{\gamma }}\right)\,\left(1\,-\,{\frac {n_{3}}{n_{1}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c3a4d5b4ac49b3d9a08b11fde3f43a50b9b0f0c)
;
c’est-à-dire :
qui est précisément la formule à retrouver.
3o. — Dans le cas du système air-crown-eau, on a :
,
.
Pour une lentille biconvexe symétrique, on a :
,
;
.
Le rayon issu de C est relevé par la première réfraction qui a lieu censément entre l’eau et l’air (voir plus haut), puis rabattu d’une quantité égale par son passage à travers la lentille dont les faces baignent dans l’air. Les deux déviations se font au même point, puisque la lentille est très mince.
- 105. Formule des lentilles minces dont les faces sont baignées par des milieux identiques.
1o. — Posons :
,
.
La formule devient :
![{\displaystyle {\frac {1}{p_{1}}}\,+\,{\frac {1}{p_{2}}}\,=\,\left({\frac {n}{\mathrm {N} }}\,-\,1\right)\,\left({\frac {1}{\mathrm {R} }}\,+\,{\frac {1}{\mathrm {R} '}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b198a468eda79f9dfe9b461eb1fd8006ba34d935)
.
C’est la formule même des lentilles où l’indice n du verre est