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RÉSONANCE. THÉORIE DE L’OREILLE.

Soient $n+{\frac {\nu }{2}}$ le nombre des vibrations de l’un, $n-{\frac {\nu }{2}}$ le nombre des vibrations de l’autre. Par hypothèse ils peuvent exister simultanément suivant le principe des petits mouvements : ils fournissent donc un mouvement résultant

$\mathrm {R} =\mathrm {A} \sin 2\pi \left(n+{\frac {\nu }{2}}\right)t+\mathrm {B} \sin 2\pi \left(n-{\frac {\nu }{2}}\right)t=\mathrm {C} \sin(2\pi nt-\gamma ).$

Identifiant les deux membres, il vient comme conditions

$\mathrm {C} ^{2}=\mathrm {A} ^{2}+\mathrm {B} ^{2}+2\mathrm {A} \mathrm {B} \cos 2\pi \nu t,$

$\operatorname {tang} \gamma =-{\frac {\mathrm {A} -\mathrm {B} }{\mathrm {A} +\mathrm {B} }}\operatorname {tang} \pi \nu t.$

Nous pouvons donc considérer le mouvement résultant comme une vibration pendulaire d’intensité variable $\mathrm {C} ^{2}$, dont la hauteur $n$ est égale à la hauteur moyenne des deux sons et dont la phase $\gamma$ est elle-même variable.

Le nombre des maxima d’intensités est égal à $\nu$ par seconde, c’est-à-dire la différence des hauteurs des deux sons.

Comme la phase $\gamma$ est variable, la hauteur du son résultant est elle-même variable. À chaque instant nous pouvons dire que la hauteur $\mathrm {N}$ de ce son est

$\mathrm {N} =n-{\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\gamma }{dt}},$

Cela revient à poser pendant un petit intervalle $\gamma =\gamma _{0}+\gamma _{1}t,$ où $\gamma _{0}$ et $\gamma _{1}$ sont des constantes, et à écrire le son résultant sous la forme $\mathrm {C} \sin 2\pi \left(n+{\frac {\gamma _{1}}{2\pi }}\right)t.$

Évaluons la hauteur $\mathrm {N} .$

$\mathrm {N} =n+{\frac {\nu }{2}}{\frac {\mathrm {A} ^{2}-\mathrm {B} ^{2}}{\mathrm {A} ^{2}+\mathrm {B} ^{2}+2\mathrm {A} \mathrm {B} \cos 2\pi \nu t}}.$

$\mathrm {N}$ varie donc entre des limites qui correspondent à

$\cos 2\pi \nu t=\pm 1.$

c’est-à-dire aux instants où l’intensité $\mathrm {C} ^{2}$ a elle-même ses valeurs maxima et minima.

1^o Au maximum d’intensité

$\mathrm {N} =n+{\frac {\nu }{2}}{\frac {\mathrm {A} -\mathrm {B} }{\mathrm {A} +\mathrm {B} }}.$