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première partie. — la relativité restreinte.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

d’où

$v^{\prime \prime }=-{\sqrt {-1}}c\operatorname {tang} (\varphi +\varphi ^{\prime })=-{\sqrt {-1}}c{\frac {\operatorname {tang} \varphi +\operatorname {tang} \varphi ^{\prime }}{1-\operatorname {tang} \varphi \operatorname {tang} \varphi ^{\prime }}}={\frac {v+v^{\prime }}{1+{\dfrac {vv^{\prime }}{c^{2}}}}}\cdot$

La formule de composition des vitesses n’est donc autre chose que la formule qui exprime la tangente de la somme de deux angles.

Plus généralement, si l’on effectue $n$ transformations dans le plan des $xl$ avec les rotations successives $\varphi _{1},$ $\varphi _{2},\dots$ $\varphi _{n},$ il en résulte une rotation unique d’un angle

$\varphi =\sum _{1}^{n}\varphi _{k}.$

La vitesse $v_{n}$ du $n$^ième système par rapport au système primitif est

$v_{n}=-{\sqrt {-1}}c\operatorname {tang} \left(\sum \varphi _{k}\right).$

Or la fonction

$\operatorname {tang} x={\sqrt {-1}}{\frac {e^{-{\sqrt {-1}}x}-e^{{\sqrt {-1}}x}}{e^{-{\sqrt {-1}}x}+e^{{\sqrt {-1}}x}}}$

croît de $0$ à ${\sqrt {-1}}$ lorsque l’argument est purement imaginaire et augmente de $0$ à ${\sqrt {-1}}\infty .$ Par conséquent, $\textstyle \operatorname {tang} \left(\sum \varphi _{k}\right)$ est toujours inférieur ou au plus égal à ${\sqrt {-1}}$ et $v_{n}\leqq c.$ La vitesse de la lumière est la limite supérieure des vitesses.

L’équation « mystique » de Minkowski^[1]. — L’équivalence des longueurs et des temps a été exprimée par Minkowski par une formule qu’il a appelée « formule mystique ». La limite des vitesses $c$ étant prise pour unité naturelle, on a

${\text{3}}\,.\,10^{5}$ kilomètres $={\sqrt {-1}}$ seconde.

Effectivement, une longueur de 300 000^km et le temps imaginaire ${\sqrt {-1}}$ seconde jouent exactement le même rôle dans l’expression des lois de l’Univers.

1. H. Minkowski, Raum und Zeit.