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chapitre VI. — l’univers de minkowski.

origine de l’événement $x,$ $y,$ $z,$ $t$ s’écrit

(24-6)

$-s^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+l^{2}.$

Nous pouvons prendre $l$ comme quatrième coordonnée ; cette coordonnée intervient exactement au même titre que les coordonnées longueurs $x,$ $y,$ $z.$

Les formules de Lorentz deviennent

(25-6)

$\left\{{\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {1}{\alpha }}\left(x+{\sqrt {-1}}{\frac {v}{c}}l\right),\\[0.75ex]l^{\prime }&={\frac {1}{\alpha }}\left(x+{\sqrt {-1}}{\frac {v}{c}}x\right).\end{aligned}}\right.$

Définissons un angle $\varphi$ tel que

(26-6)

$\;\cos \varphi ={\frac {1}{\alpha }},\;\;$ $\sin \varphi ={\sqrt {-1}}{\frac {1}{\alpha }}{\frac {v}{c}},\;\;$ d’où $\;\;\operatorname {tang} \varphi ={\sqrt {-1}}{\frac {v}{c}}\cdot$

Cet angle imaginaire $\varphi$ est lié à l’angle réel $\psi$ de la Géométrie hyperbolique par la relation $\operatorname {tang} \varphi ={\sqrt {-1}}\operatorname {tang} \psi .$

Les équations de Lorentz s’écrivent

(27-6)

$\left\{{\begin{aligned}x^{\prime }&=x\cos \varphi +l\sin \varphi ,\\l^{\prime }&=l\cos \varphi -x\sin \varphi ,\end{aligned}}\right.$

formules bien connues : ce sont celles qui permettent de passer de deux axes rectangulaires $\mathrm {O} x,$ $\mathrm {O} l$ à deux axes $\mathrm {O} x^{\prime },$ $\mathrm {O} l^{\prime }$ faisant un angle avec les premiers. La transformation de Lorentz est donc simplement une rotation d’un angle (imaginaire) $\varphi$ des deux axes $\mathrm {O} x$ et $\mathrm {O} l$ dans le plan $x\mathrm {O} l.$

Avec cette représentation, il est facile d’établir la loi de composition des vitesses.

Soient, en effet, $v$ la vitesse du système $\mathrm {S^{\prime }}$ par rapport au système $\mathrm {S} ,$ $v^{\prime }$ la vitesse d’un mobile dans le système $\mathrm {S^{\prime }} ,$ ces deux vitesses étant parallèles à $\mathrm {O} x.$

$v$ correspond à une rotation $\varphi ,v^{\prime }$ correspond à une rotation $\varphi ^{\prime }$ dans le système $\mathrm {S^{\prime }} .$ Par rapport à $\mathrm {S} ,$ nous avons à calculer la vitesse $v^{\prime \prime }$ qui correspond à la rotation $(\varphi +\varphi ^{\prime })\,;$ nous avons donc

$\operatorname {tang} \varphi ={\sqrt {-1}}{\frac {v}{c}},\quad \operatorname {tang} \varphi ^{\prime }={\sqrt {-1}}{\frac {v^{\prime }}{c}},\quad \operatorname {tang} (\varphi +\varphi ^{\prime })={\sqrt {-1}}{\frac {v^{\prime \prime }}{c}}\,;$