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chapitre VI. — l’univers de minkowski.

cette droite comme nouvel axe du temps $\mathrm {O} u'\,;$ à la droite $\mathrm {O} u'$ correspond un espace diamétral conjugué (euclidien), comme à un diamètre d’un hyperboloïde correspond un plan diamétral conjugué. Cet espace a pour équation

(22-6)

$xx_{\mathrm {U'} }+yy_{\mathrm {U'} }+zz_{\mathrm {U'} }-uu_{\mathrm {U'} }=0,$

il coupe l’espace hyperbolique (2) à une nappe suivant un ellipsoïde (comme un plan coupe un hyperboloïde suivant une ellipse) ; l’ellipsoïde est une sphère si $\mathrm {U'}$ est un sommet de l’espace hyperbolique (1) $($cas du système $x,y,z,u).$

Nous pouvons toujours prendre pour $\mathrm {O} x'$ l’intersection de l’espace conjugué de $\mathrm {O} u'$ par le plan $\mathrm {O} u,$ $\mathrm {O} u',$ et d’autre part faire tourner le système $x,y,z$ pour amener $\mathrm {O} x$ dans le même plan $\mathrm {O} u,$ $\mathrm {O} u'.$ Nous sommes alors ramenés à la construction précédente, $\mathrm {O} x$ et $\mathrm {O} x'$ étant dans le plan $\mathrm {O} u,$ $\mathrm {O} u'.$

La vitesse de l’espace conjugué de $\mathrm {O} u'$ par rapport à l’espace $x,y,z$ est $c\operatorname {tang} \psi ,$ $\psi$ étant l’angle des axes du temps $\mathrm {O} u$ et $\mathrm {O} u'.$

Il existe une triple infinité de points dans l’espace hyperbolique (1) ; il y a, par suite, une triple infinité d’axes du temps et une triple infinité d’espaces euclidiens conjugués de ces axes du temps.

Le passé et l’avenir. — L’espace conique

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-u^{2}=0$

partage l’Univers en trois domaines :

1^o Le domaine antérieur, pour lequel $s^{2}>0$ ou $u^{2}>x^{2}+y^{2}+z^{2}$ avec $u<0.$ Par chaque événement $\mathrm {A}$ de ce domaine, on peut faire passer un axe du temps $\mathrm {O} u',$ le sens du temps croissant étant $\mathrm {A} \longrightarrow \mathrm {O} .$ Un événement quelconque de ce domaine est « dans le passé » de l’événement origine $\mathrm {O} ,$ quel que soit le système de référence ; il forme avec $\mathrm {O}$ un couple dans le temps, $\mathrm {A}$ étant antérieur à l’événement origine, puisque $u<0.$

2^o Le domaine postérieur : $s^{2}>0$ ou $u^{2}>x^{2}+y^{2}+z^{2}$ avec $u>0.$ Par chaque événement $\mathrm {A}$ de ce domaine, on peut encore