Page:Becquerel - Le Principe de relativité et la théorie de la gravitation, 1922.djvu/78

58

première partie. — la relativité restreinte.

points $\mathrm {U'}$ et $\mathrm {X'}$ pour avoir quatre relations qui déterminent les coefficients $a,$ $b,$ $c,$ $d.$ On trouve immédiatement

$a=d={\frac {1}{\alpha }},\qquad b=c=-{\frac {1}{\alpha }}{\frac {v}{c}}\cdot$

Les formules de transformation s’écrivent donc

${\begin{aligned}x'&={\frac {1}{\alpha }}\left(x-{\frac {v}{c}}u\right)\\[0.75ex]u'&={\frac {1}{\alpha }}\left(u-{\frac {v}{c}}x\right)\end{aligned}}\quad$

ou

$\quad {\begin{aligned}x'&={\frac {1}{\alpha }}(x-vt),\\[0.75ex]t'&={\frac {1}{\alpha }}\left(t-{\frac {v}{c^{2}}}x\right);\end{aligned}}$

ce sont précisément les formules de Lorentz.

La transformation de Lorentz consiste donc dans la substitution de deux diamètres conjugués aux axes des hyperboles et dans le changement d’unités indiqué. Elle laisse invariantes les équations des espaces hyperboliques (18-6).

Toute droite coupant l’hyperbole (1) peut être choisie comme axe du temps ${\bigg (}\psi <{\frac {\pi }{4}},$ ${\frac {v}{c}}<1{\bigg )}.$ De même toute droite coupant l’hyperbole (2) peut servir d’axe des $x,$ mais non d’axe du temps ; tout événement $\mathrm {E}$ tel que $u^{2}<x^{2}$ peut ainsi être rendu simultané avec l’événement origine $\mathrm {O} ,$ en prenant pour axe du temps le diamètre conjugué de $\mathrm {OE.}$

Construction générale. — On peut généraliser les résultats précédents et les étendre au cas où les axes d’espace $x,y,z$ sont orientés arbitrairement par rapport à la vitesse $v.$

L’espace hyperbolique à deux nappes

(19-6)

(1) $\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-u^{2}=-1$

et l’espace à une nappe

(20-6)

(2) $\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}-u^{2}=+1$

ont un espace conique asymptote

(21-6)

$x^{2}+y^{2}+z^{2}-u^{2}=0.$

Dans l’espace hyperbolique (1), choisissons un point $\mathrm {U'}$ quelconque $(x_{\mathrm {U'} },$ $y_{\mathrm {U'} },$ $z_{\mathrm {U'} },$ $u_{\mathrm {U'} })$ et joignons $\mathrm {OU'.}$ Nous pouvons prendre