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chapitre VI. — l’univers de minkowski.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

ment par rapport à $\mathrm {S}$ avec la vitesse $v$ parallèle à $\mathrm {O} x\,;$ en effet, tous les points animés de cette vitesse $v$ apparaissent immobiles si l’on adopte les axes $\mathrm {O} x',$ $\mathrm {O} u',$ puisque leurs lignes d’Univers sont parallèles à l’axe $\mathrm {O} u'$ du temps, et que par conséquent leurs coordonnées d’espace restent constantes.

Dans le nouveau système d’axes $(\mathrm {O} x',$ $\mathrm {O} y,$ $\mathrm {O} z,$ $\mathrm {O} u')$ les équations des hyperboles, qui sont rapportées à deux diamètres conjugués, et celles des espaces hyperboliques restent les mêmes

(18-6)

$x^{\prime 2}-u^{\prime 2}=\mp 1,\quad x^{\prime 2}+y^{2}+z^{2}-u^{\prime 2}=\mp 1$

à condition de changer d’unité de longueur et d’unité de temps, en prenant pour unités $\mathrm {OX'}$ sur $\mathrm {O} x'$ et $\mathrm {OU'}$ sur $\mathrm {O} u',$ au lieu de $\mathrm {OX}$ et de $\mathrm {OU.}$

Transformation de Lorentz. — Nous pouvons maintenant trouver les formules de transformation permettant de passer du système $\mathrm {O} xyzu$ au système $\mathrm {O} x'yzu'.$

Les droites $\mathrm {O} u'$ et $\mathrm {O} x'$ ont pour équations dans le système $\mathrm {S}$ $(\mathrm {O} xyzu):$

$\mathrm {O} u':\quad x={\frac {v}{c}}u\,;\qquad \mathrm {O} x':\quad u={\frac {v}{c}}x.$

Les coordonnées des points $\mathrm {U'}$ et $\mathrm {X'}$ d’intersection avec les hyperboles sont, dans le système $\mathrm {S} :$

point $\mathrm {U'} \left\{{\begin{aligned}u_{\mathrm {U'} }&={\frac {1}{\alpha }},\\[0.75ex]x_{\mathrm {U'} }&={\frac {1}{\alpha }}{\frac {v}{c}}\,;\end{aligned}}\right.$

point $\mathrm {X'} \left\{{\begin{aligned}u_{\mathrm {X'} }&={\frac {1}{\alpha }}{\frac {v}{c}},\\[0.75ex]x_{\mathrm {X'} }&={\frac {1}{\alpha }}.\end{aligned}}\right.$

Dans le système $\mathrm {S'}$ $\mathrm {(O} x'yzu'),$ les coordonnées de ces mêmes points sont les suivantes :

point $\mathrm {U'} \left\{{\begin{aligned}u'_{\mathrm {U'} }&=1,\\[0.75ex]x'_{\mathrm {U'} }&=0\,;\end{aligned}}\right.$

point $\mathrm {X'} \left\{{\begin{aligned}u'_{\mathrm {X'} }&=0,\\[0.75ex]x'_{\mathrm {X'} }&=1.\end{aligned}}\right.$

Soient alors

${\begin{aligned}x'&=ax+bu,\\u'&=cx+du.\end{aligned}}$

les formules de transformation des coordonnées. Il suffit de remplacer $x,$ $u,$ $x',$ $u'$ successivement par les coordonnées des