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première partie. — la relativité restreinte.

déterminent, sur la ligne d’Univers de $\mathrm {M_{2},}$ deux événements $\mathrm {C}$ et $\mathrm {D}$ infiniment voisins, dont l’intervalle est $ds\,;$ on a

$ds^{2}=-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}+c^{2}dt^{2},$

mais on a aussi

$ds=c\,d\tau ,$

$d\tau$ étant l’élément de temps propre du mobile $\mathrm {M_{2}.}$ On déduit de là

${\begin{aligned}ds^{2}&=c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}\left\{1-{\frac {1}{c^{2}}}\left[\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right]\right\}\\&=c^{2}dt^{2}\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)=\alpha ^{2}c^{2}dt^{2},\end{aligned}}$

$v$ étant la vitesse du mobile $\mathrm {M_{2}}$ à l’époque $t,$ vitesse et temps mesurés dans le système uniforme du mobile $\mathrm {M_{1}} .$

On a donc finalement

(10-6)

$d\tau =\alpha \,dt,$

ce qui signifie : le temps propre d’un mobile $\mathrm {M_{2}}$ entre deux événements de sa ligne d’Univers est plus court que le temps mesuré entre les mêmes événements dans un système en translation uniforme ; il est d’autant plus court que la vitesse du mobile par rapport au système uniforme est plus grande.

Ce résultat est d’ailleurs absolument général, quel que soit le système uniforme considéré, et il pouvait se déduire de la propriété de minimum démontrée au n^o 21 : lorsque deux événements forment un couple dans le temps, la durée qui les sépare est minimum dans le système pour lequel ils sont en coïncidence dans l’espace ; le temps propre jouit donc de la propriété de minimum par rapport au temps évalué dans tout système en translation uniforme.

Nous n’avons pas encore tenu compte de la coïncidence absolue des mobiles $\mathrm {M_{1}}$ (en translation uniforme) et $\mathrm {M_{2}}$ (mouvement quelconque) aux événements $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} .$ Intégrons (10-6)

(11-6)

$\mathrm {\int _{A}^{B}} d\tau =\int _{t_{\mathrm {A} }}^{t_{\mathrm {B} }}\alpha \,dt,$

plus le mouvement du mobile $\mathrm {M_{2}}$ entre les événements $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ communs aux deux mobiles différera d’un mouvement recti-