30
première partie. — la relativité restreinte.
équation fonctionnelle qui montre que
est une fonction linéaire et homogène de ses arguments. Nous allons chercher les coefficients de ces relations.
Ces coefficients ne peuvent évidemment être fonctions que de la vitesse relative
De plus, le principe de relativité exige que les formules donnant les
en fonction des
soient les mêmes que celles donnant
en fonction des
dans lesquelles
serait simplement remplacé par
Adoptons la disposition d’axes précédemment adoptée. Prenons comme premier événement l’émission d’un signal lumineux en
et
à l’origine des temps, c’est-à-dire à l’instant où les axes des deux systèmes sont en coïncidence.
Au bout du temps
pour l’observateur du système
le signal lumineux a atteint la surface de la sphère du système
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d171e6ab5c68f55c092b97085fa0ae4f4598ae)
La vitesse de la lumière étant une constante universelle, pour l’observateur du système
le signal lumineux est au bout du temps sur la sphère du système
![{\displaystyle x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^{2}t^{\prime 2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaa3e0ab8ab5c557d08af3a487727343eff0b7fc)
Si
sont les coordonnées d’un même appareil qui reçoit le signal lumineux (second événement), on a
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}=\lambda x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-c^{2}t^{\prime 2}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0ad0b957f7eb0e0d198b89c80b25108bdf369d7)
Les lois des phénomènes ne devant pas changer quand on passe de
à
ou réciproquement, on a nécessairement
et
(1-4)
|
|
|
La disposition d’axes que nous avons choisie exige que :
(2-4) |
quels que soient |
et ![{\displaystyle z,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47989a9b66a4ea8a0ec19e8159749fce8a9a8ca8) |
on ait à la fois |
![{\displaystyle x^{\prime }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfabeb3b0b301714052283de81c08ff00d3876fc) |
et |
|
(3-4) |
» |
et ![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6) |
» |
![{\displaystyle y^{\prime }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d5cba41703af1377eb2704a6c33051eb146de28) |
et |
|
(4-4) |
» |
et ![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6) |
» |
![{\displaystyle z^{\prime }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1151569928ae47ac25e4d3f0a7268abaad39b37) |
et |
|
Les relations linéaires et homogènes qui donnent les
en fonction des
contiennent 16 coefficients fonctions de
dont le nombre se réduit avec la disposition d’axes envisagée, car les conditions précédentes montrent que
est indépendant