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chapitre II. — le groupe de transformation de Lorentz.

des temps, c’est-à-dire à partir duquel on compte le temps dans chacun des systèmes.

Désignons toujours par $c$ la vitesse de la lumière et posons :

$\alpha ={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$

(abréviation à retenir car elle sera employée dans toute la suite).

Le groupe de Lorentz est le suivant :

(3-3)

$\left\{{\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {1}{\alpha }}(x-vt),\\y^{\prime }&=y,\\z^{\prime }&=z,\\t^{\prime }&={\frac {1}{\alpha }}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\cdot \end{aligned}}\right.$

(4-3)

$\left\{{\begin{aligned}x&={\frac {1}{\alpha }}(x^{\prime }+vt^{\prime }),\\y&=y^{\prime },\\z&=z^{\prime },\\t&={\frac {1}{\alpha }}\left(t^{\prime }+{\frac {vx^{\prime }}{c^{2}}}\right)\cdot \end{aligned}}\right.$

Si les lois de l’électromagnétisme sont exactes dans le système $\mathrm {S} ,$ elles ne peuvent être exactes dans $\mathrm {S} ^{\prime }$ que si les nouvelles coordonnées d’espace et de temps $(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime })$ sont liées aux coordonnées $(x,y,z,t)$ du système $\mathrm {S}$ par les équations de Lorentz (3-3 ; 4-3).

Ces équations forment un groupe, car on reconnaît facilement que deux transformations successives de vitesses $v$ et $v^{\prime }$ équivalent à une transformation unique de même forme, à condition que la vitesse $v^{\prime \prime }$ correspondant à cette transformation unique soit liée aux vitesses $v$ et $v^{\prime }$ par la relation

(5-3)

$v^{\prime \prime }={\frac {v+v^{\prime }}{1+{\dfrac {vv^{\prime }}{c^{2}}}}}\cdot$

Ce n’est plus l’addition des vitesses, comme en mécanique classique. Nous reviendrons bientôt sur cette loi de composition des vitesses.

Le passage de $x^{\prime }$ à $x$ se faisant en remplaçant $v$ par $-v,$ on voit que la vitesse du système $\mathrm {S}$ par rapport au système $\mathrm {S} ^{\prime }$ est $-v.$

Nous établirons plus tard les substitutions qu’on doit faire pour les grandeurs électriques et magnétiques ; pour l’instant, il n’est question que des transformations de longueurs et de temps.

Il est essentiel de remarquer que les équations de Maxwell