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deuxième partie. — la relativité généralisée.

Cette expression (6-18) de ${\frac {dl}{l}}$ est analogue à l’expression de $ds^{2},$ mais c’est une forme linéaire au lieu d’une forme quadratique avec quatre fonctions $\varphi _{\mu }$ au lieu des dix fonctions $g_{\mu \nu }.$

Nous raisonnerons pour les $\varphi _{\mu }$ comme pour les $g_{\mu \nu }\,;$ les $g_{\mu \nu }$ dépendent de la structure de l’Espace-Temps et du système de coordonnées ; les $\varphi _{\mu }$ dépendent aussi d’une propriété intrinsèque de l’Espace-Temps et du système de jauges employé. De même que les $g_{\mu \nu }$ ne peuvent pas prendre des valeurs complètement arbitraires par un choix convenable de coordonnées (c’est ce qu’exprime la loi de la gravitation), de même les $\varphi _{\mu }$ doivent remplir une condition bien déterminée — doivent obéir à une loi — puisque ces potentiels dépendent d’une propriété intrinsèque de l’Univers qui reste inaltérée par un changement du système de jauges.

D’après (6-18) nous avons par intégration

(7-18)

$\operatorname {Log} {\frac {l}{l_{0}}}=\int _{\mathrm {A} }^{\mathrm {B} }\varphi _{1}\,dx_{1}+\varphi _{2}\,dx_{2}+\varphi _{3}\,dx_{3}+\varphi _{4}\,dx_{4}.$

La longueur $l,$ après un parcours entre $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ sera indépendante du chemin suivi si

$\varphi _{1}\,dx_{1}+\varphi _{2}\,dx_{2}+\varphi _{3}\,dx_{3}+\varphi _{4}\,dx_{4}$

est une différentielle totale, c’est-à-dire si le rotationnel des $\varphi _{\mu }$ est nul :

(8-18)

${\frac {\partial \varphi _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\frac {\partial \varphi _{\nu }}{\partial x_{\mu }}}=0\qquad$ ou $\qquad \mathrm {F} _{\mu \nu }=0\;$ (et $\mathrm {F} _{\mu \nu \sigma \rho }=0$).

Faisons maintenant l’hypothèse que les $\varphi _{\mu }$ représentent le quadrivecteur potentiel électromagnétique ; l’annulation du rotationnel exprime, d’après le premier groupe des équations de Maxwell généralisées (17-15), que les forces électriques et magnétiques $\mathrm {F} _{\mu \nu }$ sont nulles : la condition d’intégrabilité de la longueur ou la condition pour qu’on puisse comparer directement deux intervalles en deux points éloignés $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ est donc qu’on puisse passer de $\mathrm {A}$ à $\mathrm {B}$ sans rencontrer de champ électromagnétique. Si cette condition est réalisée, la géométrie précédemment exposée est suffisante : la structure de l’Espace-Temps est exprimée par les $g_{\mu \nu }.$ S’il y a champ électromagnétique, cette structure est exprimée par quatorze potentiels : les dix $g_{\mu \nu }$ qui décrivent les