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chapitre XVII. — la courbure de l’espace et du temps.
rente
(39-17)
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Tant que
est très petit, la vitesse observée est encore sensiblement
(
étant très petit), mais à mesure que
approche de
c’est-à-dire à mesure que le mobile paraît à l’observateur s’éloigner à l’infini, toutes les vitesses apparentes croissent indéfiniment, quelque petites que soient les vitesses réelles
dans l’espace sphérique.
Dans la seconde des équations (38-17), remplaçons
par sa
valeur
tirée de la première équation ; nous obtenons
l’expression du carré de la vitesse radiale
(40-17)
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Enfin l’équation (37-17) de la géodésique prend la forme
![{\displaystyle \mathbf {r} \cos(\varphi -\varphi _{0})=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a62194735de8f465244aaccbff90b86f197ec54)
const.
ce qui montre que, pour l’observateur, la trajectoire du mobile libre est une ligne droite.
Étudions particulièrement le cas de la lumière. Faisant
dans l’expression (32-17), nous obtenons
(41-17)
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Soient
la vitesse de la lumière,
l’angle de la tangente au
rayon lumineux et du rayon vecteur, on a, pour les composantes
radiale et transversale de la vitesse,
![{\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=c_{1}\cos \alpha ,\qquad \mathbf {r} {\frac {d\varphi }{dt}}=c_{1}\sin \alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acb56534f413ebabd52a5be6a1dbb74bf4c7ed54)
L’expression (41-17) s’écrit donc
![{\displaystyle {\frac {\cos ^{2}\alpha }{\left(1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}\right)^{2}}}c_{1}^{2}+{\frac {\sin ^{2}\alpha }{1+\varepsilon \mathbf {r} ^{2}}}c_{1}^{2}=c^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7e95e1c30e053e55ecabdcbc5516f0d8515e83)
BECQUEREL.
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