Page:Becquerel - Le Principe de relativité et la théorie de la gravitation, 1922.djvu/29

9

chapitre I. — les notions anciennes d’espace et de temps.

Nous verrons disparaître cette dissymétrie dans l’Espace-Temps de la théorie nouvelle.

4. La dynamique newtonienne.

La cinématique est définie par le groupe de Galilée. La dynamique ajoute les notions de masse et de force.

La masse (coefficient d’inertie) d’une portion de matière est a priori considérée comme constante, indépendante des changements d’état que la portion de matière peut subir, indépendante de l’état de repos ou de mouvement : c’est un invariant qui a même valeur dans tous les systèmes de référence et qui caractérise une quantité déterminée de matière.

La force est un vecteur d’espace ; ses composantes se comportent comme les projections d’une distance sur les axes de coordonnées.

Écrivons de nouveau le groupe de Galilée :

$\left\{{\begin{aligned}x^{\prime }&=x-vt,\\y^{\prime }&=y,\\z^{\prime }&=z,\end{aligned}}\right.$  et $\left\{{\begin{aligned}x&=x^{\prime }+vt,\\y&=y^{\prime },\\z&=z^{\prime }.\end{aligned}}\right.$

On a immédiatement

${\frac {dx}{dt}}={\frac {dx^{\prime }}{dt}}+v,\qquad {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy^{\prime }}{dt}},\qquad {\frac {dz}{dt}}={\frac {dz^{\prime }}{dt}}.$

Si la vitesse $v$ de $\mathrm {O} ^{\prime }$ dans le système $\mathrm {S}$ est, non plus parallèle à $\mathrm {O} x,$ $\mathrm {O} x^{\prime },$ mais d’orientation quelconque, et a pour composantes $v_{x},$ $v_{y},$ $v_{z},$ on a

(3-1)

${\frac {dx}{dt}}={\frac {dx^{\prime }}{dt}}+v_{x},\qquad {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy^{\prime }}{dt}}+v_{y},\qquad {\frac {dz}{dt}}={\frac {dz^{\prime }}{dt}}+v_{z}\,;$

c’est le théorème de l’addition des vitesses qui se composent géométriquement suivant la règle du parallélogramme. Une seconde dérivation donne

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}x^{\prime }}{dt^{2}}},\qquad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}y^{\prime }}{dt^{2}}},\qquad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}z^{\prime }}{dt^{2}}}\,;$

$m$ étant la masse d’un point matériel, $\mathrm {X} ,$ $\mathrm {Y} ,$ $\mathrm {Z} \,;$ $\mathrm {X} ^{\prime },$ $\mathrm {Y} ^{\prime },$ $\mathrm {Z} ^{\prime }$ les