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deuxième partie. — la relativité généralisée.

est la densité d’énergie du champ électromagnétique, expression bien connue^[1].

2^o Les composantes $\mathrm {E} _{4}^{\sigma }=-\mathrm {E} _{\sigma }^{4}$ multipliées par $c^{2},$

$\mathrm {YN-ZM} ,\quad \mathrm {ZL-XN} ,\quad \mathrm {XM-YL} ,$

sont les composantes du vecteur de Poynting (quantité de mouvement électromagnétique).

3^o Le tenseur réduit aux neuf composantes d’espace (suppression de la dernière ligne et de la dernière colonne) est le tenseur de Maxwell (tensions électromagnétiques).

Contractons $\mathrm {E} _{\mu }^{\sigma }$ en faisant $\sigma =\mu ,$ nous obtenons un scalaire nul

(30-15)

$\mathrm {E} ={\frac {1}{c^{2}}}\left(-\mathrm {F} _{\mu \alpha }\mathrm {F} ^{\mu \alpha }+{\frac {1}{4}}g_{\mu }^{\mu }\mathrm {F} _{\alpha \beta }\mathrm {F} ^{\alpha \beta }\right)\equiv 0.$

102. Loi générale de la gravitation en présence de matière et d’énergie électromagnétique.

L’expression la plus générale de la loi de conservation est (27-15)

$\mathrm {E} _{\mu \alpha }^{\alpha }+\mathrm {T} _{\mu \alpha }^{\alpha }=0.$

Lorsque ${\sqrt {-g}}=1,$ elle s’écrit

${\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}{\Big (}$	$\mathrm {T} _{\mu }^{\alpha }$	$+$	$\mathrm {E} _{\mu }^{\alpha }$	$+$	$t_{\mu }^{\alpha }$	${\Big )}=0.$
	Matière.		Champ électromagnétique.		Champ de gravitation.

En l’absence de matière, on a $\mathrm {E} _{\mu \alpha }^{\alpha }=0,$ c’est-à-dire qu’en un point d’Univers où il n’y a que de l’énergie libre, on obtient, $\mathrm {E} _{\mu \nu }$ étant symétrique,

(31-15)

${\frac {\partial {\mathfrak {E}}_{\mu }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}={\begin{Bmatrix}\mu \alpha \\\beta \\\end{Bmatrix}}{\mathfrak {E}}_{\beta }^{\alpha }=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\mu }}}{\mathfrak {E}}_{\alpha \beta },$

et si ${\sqrt {-g}}=1$

(32-15)

${\frac {\partial \mathrm {E} _{\mu }^{\alpha }}{\partial x_{\alpha }}}={\begin{Bmatrix}\mu \alpha \\\beta \\\end{Bmatrix}}\mathrm {E} _{\beta }^{\alpha }=-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial g^{\alpha \beta }}{\partial x_{\mu }}}\mathrm {E} _{\alpha \beta },$

1. Ne pas oublier que nous avons choisi les unités de façon à faire disparaître le facteur $4\pi .$