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deuxième partie. — la relativité généralisée.
Des équations (109-14) on déduit immédiatement
![{\displaystyle \left({\frac {h}{r^{2}}}{\frac {dr}{d\varphi }}\right)^{2}\!+{\frac {h^{2}}{r^{2}}}=(k^{2}-1)+{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}r}}+{\frac {2\mathrm {GM} h^{2}}{c^{2}r^{3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e7f7aa35545182bcfa31b2477cb88174efc1ce)
ou, en posant
,
![{\displaystyle \left({\frac {du}{d\varphi }}\right)^{2}\!+u^{2}={\frac {k^{2}-1}{h^{2}}}+{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}h^{2}}}u+{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}}}u^{3}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b4c34ad6f12303a0103d668e9e73d1a7045f7dc)
par dérivation, il vient
(111-14)
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Pour intégrer cette équation, nous allons procéder par approximations
successives.
Le second terme du deuxième membre est très petit par rapport
au premier terme ; leur rapport est
![{\displaystyle 3h^{2}u^{2}=3\left(r{\frac {d\varphi }{ds}}\right)^{2}\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2da350c8ac7e8b42be6c074dcea8ac85a35b2e83)
[d’après
(109-14)],
c’est trois fois le carré du rapport de la vitesse transversale de la
planète à la vitesse de la lumière. Dans le système solaire
est de l’ordre de
nous pouvons donc d’abord négliger le
terme en
dans (111) et nous obtenons l’ancienne solution de la
mécanique céleste newtonienne
(112-14)
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étant l’excentricité de l’orbite, et
la longitude du périhélie.
Une seconde approximation s’obtient en substituant la valeur
(112) de
dans le terme
de (111), de sorte que cette équation
(111) devient
(113-14)
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Parmi les termes additionnels ainsi obtenus, le seul qui donne