Page:Becquerel - Le Principe de relativité et la théorie de la gravitation, 1922.djvu/239

219

chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.

des coordonnées galiléennes, l’équation de propagation généralisée

$g^{\alpha \beta }{\frac {\partial ^{2}h_{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }\,\partial x_{\beta }}}=0$

est satisfaite au degré d’approximation admis.

Dans une région contenant de la matière, les équations de l’hydrodynamique ${\frac {\partial \mathrm {T} _{\mu }^{\sigma }}{\partial x_{\sigma }}}=0$ qui expriment la conservation de l’impulsion-énergie de la matière seule ne seraient exactes qu’en l’absence de tout champ de force, mais nous savons par expérience qu’elles sont pratiquement valables si le champ de gravitation est très faible et avec les coordonnées quasi galiléennes habituellement employées en Mécanique. L’équation (81-14) est alors valable avec notre degré d’approximation.

Supposons un champ statique, c’est-à-dire dans lequel les dérivées ${\frac {\partial h_{\mu \nu }}{\partial x_{4}}}$ sont nulles ; l’équation (81-14) se réduit, toujours au même degré d’approximation, à

$-\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{3}^{2}}}\right)h_{\mu \nu }=2\mathrm {R} _{\mu \nu }$

ou

$\Delta h_{\mu \nu }=-2\mathrm {R} _{\mu \nu }=2\varkappa \left(\mathrm {T} _{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\mathrm {T} \right).$

On a, de plus, pour la matière au repos, $\mathrm {T} =\mathrm {T} _{44}=\rho _{0}\,;$ les autres composantes $\mathrm {T} _{\mu \nu }$ sont nulles ; on obtient par conséquent,

$\Delta h_{\mu \nu }=0\qquad$ si $\qquad \mu \neq \nu$

et

$\Delta h_{11}=\Delta h_{22}=\Delta h_{33}=\Delta h_{44}=\varkappa \rho _{0}.$

c’est une généralisation de l’équation de Poisson, la solution est

$h_{\mu \nu }=0\qquad$ si $\qquad \mu \neq \nu$

$h_{11}=h_{22}=h_{33}=h_{44}=-{\frac {\varkappa }{4\pi }}\iiint {\frac {\rho _{0}\,d\mathrm {V} }{r}}=-{\frac {2\mathrm {G} }{c^{2}}}\iiint {\frac {\rho _{0}\,d\mathrm {V} }{r}}\cdot$

L’intervalle élémentaire s’écrit donc, dans le cas d’une particule unique de masse $\mathrm {M} ,$

(83-14)

$\;ds^{2}=-\left(\!1+{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}r}}\!\right)\!\left(dx_{1}^{2}\!+dx_{2}^{2}\!+dx_{3}^{2}\right)+\left(\!1-{\frac {2\mathrm {GM} }{c^{2}r}}\!\right)dx_{4}^{2}\,;$