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deuxième partie. — la relativité généralisée.

or, on a

$g_{\mu \nu }{\frac {dx_{\mu }}{ds}}{\frac {dx_{\nu }}{ds}}=1,$

d’où finalement

${\frac {dm_{0}^{2}}{ds}}=0,$

ce qui prouve :

1^o Que la masse au repos d’une particule est constante ;

2^o Que les équations du mouvement (76-14) sont bien les équations d’une géodésique.

Ainsi, nous obtenons ce résultat fondamental que la loi du mouvement est la conséquence de la conservation de l’impulsion-énergie. Elle est par suite contenue dans la loi de la gravitation puisque celle-ci englobe le principe de conservation.

88. Champ statique. Loi de Newton déduite,
en première approximation, de la loi d’Einstein.

Avec les mêmes approximations qu’au n^o 86, nous pouvons, dans l’expression du tenseur $\mathrm {R} _{\mu \nu }$

$-{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \\\end{Bmatrix}}+{\begin{Bmatrix}\mu \alpha \\\varepsilon \\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\nu \varepsilon \\\alpha \\\end{Bmatrix}}+{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}{\begin{Bmatrix}\mu \alpha \\\alpha \\\end{Bmatrix}}-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\varepsilon \\\end{Bmatrix}}{\begin{Bmatrix}\varepsilon \alpha \\\alpha \\\end{Bmatrix}},$

négliger le produit des forces, c’est-à-dire supprimer le second et le quatrième terme. La loi d’Einstein s’écrit donc approximativement :

(77-14)

$-{\frac {\partial }{\partial x_{\alpha }}}{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \\\end{Bmatrix}}+{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}{\begin{Bmatrix}\mu \alpha \\\alpha \\\end{Bmatrix}}=-\varkappa \left(\mathrm {T} _{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\mathrm {T} \right).$

Développant le premier membre et remarquant que les $g^{\mu \nu }$ ont des valeurs extrêmement voisines des valeurs galiléennes ${\bigg (}\!$ce qui permet d’écrire ${\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\alpha \\\end{Bmatrix}}=-{\begin{bmatrix}\mu \nu \\\alpha \\\end{bmatrix}}$ pour $\alpha =$ 1, 2, 3 et ${\begin{Bmatrix}\mu \nu \\4\\\end{Bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mu \nu \\4\\\end{bmatrix}}{\bigg )},$