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chapitre XIV. — théorie de la gravitation et dynamique.
ou
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {dg_{\alpha \beta }}{ds}}u^{\alpha }u^{\beta }=-u_{\alpha }{\frac {du^{\alpha }}{ds}}=-u_{\sigma }{\frac {du^{\sigma }}{ds}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1837c3294429a12f048a371886ebfedbe1caf9c0)
Les deux derniers termes de (b) se détruisent donc, et il reste
![{\displaystyle {\frac {\partial u^{\nu }}{\partial x_{\nu }}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d5925d0c0729ff4582748b3ffbd2ceb59679d9c)
si l’on supprime la restriction
cette équation se généralise
par
![{\displaystyle {\mathfrak {U}}_{\nu }^{\nu }=0\qquad \left({\mathfrak {U}}^{\mu }=u^{\mu }{\sqrt {-g}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21316e56a3bda17b661a20ccc54dbc473d200d96)
Or, l’équation
![{\displaystyle \rho _{0}{\mathfrak {U}}_{\nu }^{\nu }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c09d4e514bbcf33101848a601440aca684d168b)
n’est autre que l’expression de la conservation de la masse.
Tenant compte de
l’équation (a) est bien l’équation
générale des géodésiques. La restriction
est levée, car
le premier membre est un tenseur (voir no 78).
Eddington[1] donne la démonstration suivante, et établit en
même temps que la masse au repos d’une particule est constante.
La loi de conservation
peut s’écrire, en faisant passer
en haut l’indice
sous la forme
ou, d’après (58-13),
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!\left(\mathrm {T} ^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\right)=-{\begin{Bmatrix}\alpha \nu \\\mu \\\end{Bmatrix}}\mathrm {T} ^{\alpha \nu }{\sqrt {-g}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10e2fdfd40783ab40cfbf095640c1aa2ed9ebeca)
Intégrons cette équation pour un quadrivolume très petit. On
peut effectuer immédiatement une première intégration sur le
premier membre, et l’on a
(72-14)
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Supposons que dans le domaine d’intégration il n’y ait qu’une
simple particule et que, par suite, le tenseur matériel soit nul en
tout point sauf sur la ligne d’Univers de la particule.
- ↑ Espace, Temps, Gravitation, partie théorique, no 41.