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deuxième partie. — la relativité généralisée.

et comme $\mathrm {R} =g^{\sigma \rho }\mathrm {R} _{\sigma \rho },$

${\frac {1}{2}}{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x_{\mu }}}={\frac {1}{2}}g^{\sigma \rho }{\frac {\partial \mathrm {R} _{\sigma \rho }}{\partial x_{\mu }}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {R} _{\sigma \rho }{\frac {\partial g^{\sigma \rho }}{\partial x_{\mu }}}\,;$

il faut donc démontrer que

(11-14)

${\frac {1}{\sqrt {-g}}}{\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\!\left(\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }{\sqrt {-g}}\right)\equiv {\frac {1}{2}}g^{\sigma \rho }{\frac {\partial \mathrm {R} _{\sigma \rho }}{\partial x_{\mu }}}\cdot$

Maintenant, sans particulariser en rien la structure de l’Univers, nous pouvons choisir nos coordonnées de façon que :

a. ${\sqrt {-g}}=1$ en tout point d’Univers.

b. Les dérivées premières ${\frac {\partial g_{\mu \nu }}{\partial x_{\alpha }}}$ s’annulent au point considéré, car ces conditions peuvent être remplies dans n’importe quel genre d’Univers^[1]. Nous simplifions ainsi les expressions sans restreindre la généralité du théorème ; en effet, la relation que nous voulons établir est une relation tensorielle et, si nous prouvons qu’elle est exacte pour un système de coordonnées particulier, nous savons qu’elle est encore exacte pour tout autre système de coordonnées dans le même Univers.

D’après a, le premier membre de (11) s’écrit

${\frac {\partial }{\partial x_{\nu }}}\mathrm {R} _{\mu }^{\nu }$	$={\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\mathrm {R} _{\mu }^{\sigma }={\frac {\partial }{\partial x_{\sigma }}}\left(g^{\sigma \rho }\mathrm {R} _{\mu \rho }\right)$
	$=g^{\sigma \rho }{\frac {\partial \mathrm {R} _{\mu \rho }}{\partial x_{\sigma }}}$	d’après (b)
	$=g^{\sigma \rho }{\frac {\partial \mathrm {R} _{\mu \sigma }}{\partial x_{\rho }}}$	en permutant $\sigma$ et $\rho .$

On peut donc remplacer (11) par

(12-14)

${\frac {1}{2}}g^{\sigma \rho }\left({\frac {\partial \mathrm {R} _{\mu \rho }}{\partial x_{\sigma }}}+{\frac {\partial \mathrm {R} _{\mu \sigma }}{\partial x_{\rho }}}-{\frac {\partial \mathrm {R} _{\sigma \rho }}{\partial x_{\mu }}}\right)=0.$

Substituons à $\mathrm {R} _{\mu \rho }$, etc. leurs valeurs d’après (63-13) ; d’après (a), les termes en $\operatorname {Log} {\sqrt {-g}}$ disparaissent ; d’après (b), les sym-

1. Le système de coordonnées ainsi caractérisé est un système géodésique ; c’est l’analogue exact du système de coordonnées rectilignes dans un Univers euclidien.