Page:Becquerel - Le Principe de relativité et la théorie de la gravitation, 1922.djvu/202

182

deuxième partie. — la relativité généralisée.

pas de dérivées d’ordre supérieur à $2,$ et linéaire par rapport aux dérivées secondes.

La loi $\mathrm {R} _{\mu \nu }=0$ a d’abord été adoptée par Einstein. Puis Einstein a été conduit plus tard à introduire le terme correctif $-\lambda g_{\mu \nu }$ parce qu’il y a, ainsi que nous le verrons, des difficultés insurmontables dans la conception d’un espace infini. Cependant, comme nous sommes certains que l’espace est immense, que loin de toute matière le champ permanent de gravitation est pratiquement nul, qu’il y a des régions où l’Univers peut, avec une très haute approximation, être considéré comme euclidien, nous pouvons affirmer que la constante $\lambda$ est extrêmement petite, et le terme additionnel $-\lambda g_{\mu \nu }$ peut être négligé dans les applications au mouvement des astres.

Nous admettrons donc la loi $\mathrm {R} _{\mu \nu }=0,$ quitte à revenir plus tard à la loi (9-14), ce qui nous conduira à remplacer le tenseur $\mathrm {R} _{\mu \nu }$ par le tenseur $\mathrm {R} '_{\mu \nu }=\mathrm {R} _{\mu \nu }-\lambda g_{\mu \nu }$ ainsi que le scalaire $\mathrm {R} =g^{\mu \nu }\mathrm {R} _{\mu \nu }$ par le scalaire $\mathrm {R} '=g^{\mu \nu }\mathrm {R} '_{\mu \nu }=\mathrm {R} -4\lambda .$ Ce remplacement n’apportera d’ailleurs aucun changement aux principes généraux de la Mécanique que nous allons bientôt exposer.

Pour être acceptée, la loi d’Einstein doit recevoir la confirmation de l’expérience. Combinée avec les équations du mouvement, elle doit comporter en première approximation l’ancienne loi, celle de Newton ; elle doit, de plus, rendre compte d’un écart connu à la loi de Newton, le déplacement du périhélie de la planète Mercure. Nous verrons que la loi d’Einstein satisfait entièrement à ces conditions.

Le tenseur $\mathrm {R} _{\mu \nu }$ étant symétrique, l’annulation de ses composantes donne dix équations : six seulement de ces équations sont indépendantes ; c’était à prévoir puisque dix équations indépendantes, auxquelles on joindrait les conditions aux limites, détermineraient tous les $g_{\mu \nu }$ dans l’expression de $ds^{2},$ et par conséquent spécifieraient non seulement la géométrie particulière du champ de gravitation (la structure de l’Univers), mais encore le système de coordonnées d’Univers. Ce système de coordonnées doit rester arbitraire ; il est quatre fois indéterminé, ce qui correspond à quatre relations identiques entre les $g_{\mu \nu }$ (voir le numéro suivant). La loi de gravitation dans le vide comporte donc six conditions. C’est une restriction considérable imposée aux géométries de l’Univers.