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chapitre XIII. — notions de calcul tensoriel.
opérations précédentes et former la dérivée covariante d’un tenseur
quelconque. Prenons le cas d’un tenseur covariant du second
ordre. Un tel tenseur peut être considéré comme la somme de tenseur
du type
[1] ; d’après (36-13), les expressions
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {B} _{\lambda }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\lambda \nu \\\varepsilon \end{Bmatrix}}\mathrm {B} _{\varepsilon }\,;\qquad {\frac {\partial \mathrm {C} _{\mu }}{\partial x_{\nu }}}-{\begin{Bmatrix}\mu \nu \\\varepsilon \end{Bmatrix}}\mathrm {C} _{\varepsilon }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/329e640c6799bcce015bca7473d1ea0e47f3b4de)
sont des tenseurs. Multiplions la première expression par
la
seconde par
nous obtenons des tenseurs d’ordre 3, dont l’addition
donne le tenseur
(38-13)
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en posant
Comme le second membre est linéaire et
homogène relativement aux
et à leurs dérivées premières, cette
formation reste la même pour une somme de tenseurs tels
que
c’est-à-dire pour un tenseur covariant quelconque
d’ordre 2. Le tenseur
est appelé « dérivée covariante du tenseur
».
Le résultat
(39-13)
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- ↑ Von Laue donne la démonstration suivante (Die Relativitätstheorie, II
Band, p. 49). Soit un tenseur du deuxième ordre,
désignant ses composantes
pour un certain système de coordonnées. Donnons-nous d’une manière absolument
arbitraire un groupe de quatre quadrivecteurs ayant dans le système considéré
les composantes
nous supposerons toutefois que le déterminant
formé par les
est différent de zéro. Nous pouvons alors
déterminer un second groupe de quatre quadrivecteurs de composantes
tel que
![{\displaystyle \mathrm {A} _{\lambda \mu }=\mathrm {B} _{\lambda }\mathrm {B} '_{\mu }+\mathrm {C} _{\lambda }\mathrm {C} '_{\mu }+\mathrm {D} _{\lambda }\mathrm {D} '_{\mu }+\mathrm {E} _{\lambda }\mathrm {E} '_{\mu }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde30b6193406a5c20ba619153d1d6e73ea1fe75)
On aura en effet
en considérant les quatre équations linéaires à déterminant non nul
(
![{\displaystyle \lambda ={}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28baa08990db5fc526223238d5ef50b98b23ddd2)
1, 2, 3, 4).
On obtiendra de même
etc.
Les tenseurs du deuxième ordre
peuvent donc se décomposer en sommes
de produits de quatre paires de vecteurs. Cette démonstration se généralise pour
un tenseur d’ordre quelconque.