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deuxième partie. — la relativité généralisée.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

sommation qui donne le développement complet de l’expression d’une seule et même composante, on doit lui attribuer successivement les valeurs 1, 2, 3, 4. La lettre qui désigne l’indice muet peut donc être à volonté remplacée par une autre lettre quelconque, pourvu que cette dernière lettre ne figure pas déjà dans le terme considéré : ainsi, au lieu de (4-13), on peut écrire

$\mathrm {A} '_{\sigma }=\sum _{\alpha }{\frac {\partial x_{\alpha }}{\partial x'_{\sigma }}}\mathrm {A} _{\alpha },$

mais non

$\mathrm {A} '_{\sigma }=\sum _{\sigma }{\frac {\partial x_{\sigma }}{\partial x'_{\sigma }}}\mathrm {A} _{\sigma }.$

Les remarques qui précèdent permettent de supprimer le signe $\sum$ sans nuire à la clarté de la notation. Il en sera de même dans la généralisation que nous allons faire : les indices muets sont faciles à reconnaître et il est sous-entendu qu’il faut sommer par rapport à chacun des indices muets.

62. Tenseurs de second ordre et d’ordres supérieurs.

Tenseurs contrevariants. Formons les 16 produits $\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {B} ^{\nu }$ des composantes $\mathrm {A} ^{\mu }$ et $\mathrm {B} ^{\nu }$ de deux quadrivecteurs contrevariants

(5-13)

$\mathrm {A} ^{\mu \nu }=\mathrm {A} ^{\mu }\mathrm {B} ^{\nu }.$

D’après (2-13) la loi de transformation de ces produits est

$\mathrm {A} '^{\sigma \tau }=\sum _{\mu }\sum _{\nu }{\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial x'_{\tau }}{\partial x_{\nu }}}\mathrm {A} ^{\mu \nu }\,;$

d’après la remarque faite plus haut, nous abrégeons l’écriture en supprimant les $\sum$ et nous écrivons simplement

(6-13)

$\mathrm {A} '^{\sigma \tau }={\frac {\partial x'_{\sigma }}{\partial x_{\mu }}}{\frac {\partial x'_{\tau }}{\partial x_{\nu }}}\mathrm {A} ^{\mu \nu },$

$\mu$ et $\nu$ sont les indices muets et nous savons que dans le développement complet de $\mathrm {A} '^{\sigma \tau }$ il faudrait sommer en donnant succes-