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CHAPITRE IX.

DYNAMIQUE DE LA RELATIVITÉ.

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40. La masse est fonction de la vitesse.

Supposons que, dans un système $\mathrm {S} ,$ un point matériel soit en mouvement avec la vitesse $v$ à l’instant $t.$

Introduisons un second système $\mathrm {S} ^{\prime }$ se mouvant par rapport au premier avec la vitesse $v\,;$ à l’instant considéré, le mobile a une vitesse nulle dans ce système $\mathrm {S} ^{\prime }.$ Pendant le temps infiniment court qui suit, nous pouvons, dans le système $\mathrm {S} ^{\prime },$ appliquer les équations de la dynamique classique, puisque le mobile part du repos dans ce système et que les équations classiques sont exactes à la limite.

Soient $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },t^{\prime }$ les coordonnées d’espace et de temps du mobile dans le système $\mathrm {S} ^{\prime },$ $m_{0}$ sa masse initiale ou masse au repos, c’est-à-dire sa masse pour des observateurs par rapport auxquels il est au repos à l’instant considéré. Désignons par $\mathrm {F} _{x}^{\prime },,$ $\mathrm {F} _{y}^{\prime },$ $\mathrm {F} _{z}^{\prime }$ les composantes, mesurées par un observateur du système $\mathrm {S} ^{\prime },$ de la force qu’il subit. Nous aurons

(1-9)

$m_{0}{\frac {d^{2}x^{\prime }}{dt^{\prime 2}}}=\mathrm {F} _{x^{\prime }}^{\prime }\quad m_{0}{\frac {d^{2}y^{\prime }}{dt^{\prime 2}}}=\mathrm {F} _{y^{\prime }}^{\prime }\quad m_{0}{\frac {d^{2}z^{\prime }}{dt^{\prime 2}}}=\mathrm {F} _{z^{\prime }}^{\prime }.$

Pour obtenir les équations de la dynamique pour les observateurs du système $\mathrm {S} ,$ il suffit de savoir comment se transforment ${\frac {d^{2}x^{\prime }}{dt^{\prime 2}}},$ ${\frac {d^{2}y^{\prime }}{dt^{\prime 2}}},$ ${\frac {d^{2}z^{\prime }}{dt^{\prime 2}}}\,;$ $\mathrm {F} _{x^{\prime }}^{\prime },$ $\mathrm {F} _{y^{\prime }}^{\prime },$ $\mathrm {F} _{z^{\prime }}^{\prime }$ en fonction des mesures faites dans le système $\mathrm {S} .$

En ce qui concerne l’accélération, les équations de Lorentz nous donnent la réponse ; on a, en adoptant la disposition d’axes précédemment considérée,

(2-9)

$\;x^{\prime }={\frac {1}{\alpha }}(x-vt),\quad y^{\prime }=y,\quad z^{\prime }=z,\quad t^{\prime }={\frac {1}{\alpha }}\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\cdot$