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première partie. — la relativité restreinte.

vecteurs électrique et magnétique, nous obtenons

(6-8)

$\left\{{\begin{array}{c}{\begin{aligned}\mathrm {X} '\!&=\qquad \qquad \quad \mathrm {X} _{0}\;\;\sin \Phi ',&\mathrm {L} '\!&=\qquad \qquad \quad \,\mathrm {L} _{0}\;\;\sin \Phi ',\\[0.75ex]\mathrm {Y} '\!&={\frac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {Y} _{0}-{\frac {v}{c}}\mathrm {N} _{0}\right)\sin \Phi ',&\mathrm {M} '\!&={\frac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {M} _{0}+{\frac {v}{c}}\mathrm {Z} _{0}\right)\sin \Phi ',\\[0.75ex]\mathrm {Z} '\!&={\frac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {Z} _{0}+{\frac {v}{c}}\mathrm {M} _{0}\right)\sin \Phi ',&\mathrm {N} '\!&={\frac {1}{\alpha }}\left(\mathrm {N} _{0}-{\frac {v}{c}}\mathrm {Y} _{0}\right)\sin \Phi ';\end{aligned}}\\[0.75ex]{\begin{aligned}\Phi '\!&=\omega '\left(t'-{\frac {a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z}{c}}\right)\cdot \end{aligned}}\end{array}}\right.$

Comme on a

${\begin{aligned}\mathrm {X} &=\mathrm {X} _{0}\sin \Phi ,&\mathrm {X} '&=\mathrm {X} _{0}'\sin \Phi ',\end{aligned}}$

et que

${\begin{aligned}\mathrm {X} &=\mathrm {X} ',&\mathrm {X} _{0}&=\mathrm {X} _{0}',\end{aligned}}$

on a nécessairement

$\Phi =\Phi '.$

Donc $\Phi$ est un invariant de la transformation de Lorentz.

Dans la théorie vectorielle ordinaire, lorsque la somme

$\mathrm {A} _{1}\mathrm {B} _{1}+\mathrm {A} _{2}\mathrm {B} _{2}+\mathrm {A} _{3}\mathrm {B} _{3}$

des produits des trois composantes $\mathrm {\mathrm {A} } _{1},$ $\mathrm {\mathrm {A} } _{2},$ $\mathrm {\mathrm {A} } _{3}$ d’un vecteur par trois grandeurs $\mathrm {\mathrm {B} } _{1},$ $\mathrm {\mathrm {B} } _{2},$ $\mathrm {\mathrm {B} } _{3}$ est un invariant pour toute transformation d’axes orthogonaux, $\mathrm {\mathrm {B} } _{1},$ $\mathrm {\mathrm {B} } _{2},$ $\mathrm {\mathrm {B} } _{3}$ sont les composantes d’un vecteur. Ce théorème s’étend aux vecteurs à quatre dimensions.

Posons

${\begin{aligned}ct&=u,&\Phi &={\frac {\omega }{c}}\left(u-a_{1}x-a_{2}y-a_{3}z\right),\end{aligned}}$

$x,\,y,\,z,\,u{\sqrt {-1}}$ sont les composantes d’un vecteur d’Univers quadridimensionnel ($x,\,y,\,z$ composantes d’espace, $u$ composante de temps) ; puisque $\Phi$ est un invariant,

${\begin{aligned}{\frac {\omega a_{1}}{c}},\quad {\frac {\omega a_{2}}{c}},\quad {\frac {\omega a_{3}}{c}},\quad {\frac {\omega }{c}}{\sqrt {-1}}\end{aligned}}$

sont aussi les composantes d’un quadrivecteur ; par conséquent $\omega a_{1},$ $\omega a_{2},$ $\omega a_{3},$ $\omega$ se transforment comme $x,$ $y,$ $z,$ $u,$ c’est-à-dire conformément aux formules de Lorentz. De même que

$x'={\frac {1}{\alpha }}\left(x-{\frac {v}{c}}u\right);\quad y'=y\,;\quad z'=z\,;\quad u'={\frac {1}{\alpha }}\left(u-{\frac {v}{c}}x\right),$