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RELATIVITÉ GÉNÉRALISÉE ET GRAVITATION

Si l’on s’est donné les courbes $x_{1}$ et les courbes $x_{2},$ on peut, en chaque point $\mathrm {P} ,$ de coordonnées $x_{1}$ et $x_{2},$ mesurer avec une règle les distances $(\delta l)^{\prime }$, $(\delta l)^{\prime \prime }$, $(\delta l)^{\prime \prime \prime }$ qui séparent
Fig. 14.le point $\mathrm {P}$ de trois points extrêmement voisins de lui $\mathrm {P^{\prime }} ,$ $\mathrm {P^{\prime \prime }} ,$ $\mathrm {P^{\prime \prime \prime }}$ (fig. 14) et correspondant à des valeurs connues des différences de coordonnées $(\delta x_{1})^{\prime },$ $(\delta x_{2})^{\prime },$ etc. : toutes ces grandeurs étant extrêmement petites nous pouvons pratiquement les considérer comme infiniment petites, c’est-à-dire écrire $(\delta l)^{\prime }=(dl)^{\prime },$ etc. et appliquer, pour les trois distances, la formule (17). Nous avons donc trois équations permettant de calculer $g_{11},$ $g_{12}$, $g_{22}$ qui sont ainsi obtenus par des mesures ordinaires d’arpentage.

Conformément à la géométrie euclidienne ordinaire, les $g$ sont bien déterminés en chaque point ; ils sont indépendants des points $\mathrm {P^{\prime }} ,$ $\mathrm {P^{\prime \prime }} ,$ $\mathrm {P^{\prime \prime \prime }}$ choisis pour les mesures d’arpentage. Mais, d’un point $\mathrm {P}$ à un autre, les $g$ sont variables ; ce sont des fonctions des coordonnées $x_{1}$ et $x_{2}$ (c’est-à-dire des grandeurs qui dépendent des valeurs de $x_{1}$ et $x_{2}$). C’est seulement dans le cas d’une surface euclidienne qu’on peut trouver des lignes $x_{1}$ et $x_{2}$ telles qu’on ait

(18)

$dl^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}$

c’est-à-dire

$g_{11}=g_{22}=1,\quad g_{12}=0$

en tout point. C’est ainsi que dans le plan, on peut prendre pour $x_{1}$ et $x_{2}$ des droites rectangulaires, c’est-à-dire employer des coordonnées cartésiennes rectangulaires [chap. I, équation (1)]. L’équation (18) est caractéristique d’une surface euclidienne.

Dans le cas général, les $g$ étant en chaque point des fonctions de $x_{1}$ et $x_{2},$ l’arpentage permet de calculer les