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LES COORDONNÉES DE GAUSS

pas se couper, de façon qu’il ne passe qu’une des courbes $x_{1}$ par chaque point ; de la sorte, à chaque point de la surface correspond une coordonnée $x_{1}$ bien déterminée.

Traçons de même une seconde famille de courbes $x_{2},$ les courbes $x_{2}$ coupant les courbes $x_{1}.$ Chaque point de la surface est maintenant entièrement défini par les valeurs de ses deux coordonnées $x_{1}$ et $x_{2}.$

Deux points $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P^{\prime }}$ infiniment voisins ont pour coordonnées respectives $x_{1}$ et $x_{2},$ $x_{1}+dx_{1},$ $x_{2}+dx_{2}.$ Les coordonnées de Gauss reviennent, en somme, à un numérotage, à la coordination de deux nombres, faite de manière que deux points infiniment voisins soient
Fig. 13. représentés par des nombres infiniment peu différents.

Dans une étendue infiniment petite autour d’un point $\mathrm {P}$, nous confondons la surface avec son plan tangent et les courbes avec les lignes droites qui leur sont tangentes (fig. 13) ; nous sommes ainsi ramenés, en chaque point, à un système de coordonnées rectilignes mais obliques ; une formule bien connue de la géométrie euclidienne donne la distance $dl$ du point de coordonnées $x_{1},$ $x_{2}$ au point infiniment voisin de coordonnées $x_{1}+dx_{1},$ $x_{2}+dx_{2}$ :

$dl^{2}=g_{11}\,dx_{1}^{2}+g_{12}\,dx_{1}\,dx_{2}+g_{21}\,dx_{2}\,dx_{1}+g_{22}\,dx_{2}^{2}$

ou (17)

$\;\;\;\;\;\;dl^{2}=g_{11}\,dx_{1}^{2}+2g_{12}\,dx_{1}\,dx_{2}+g_{22}\,dx_{2}^{2}$

parce que $g_{21}=g_{12}$.